平面向量基本定理

平面向量基本定理

平面向量基本定理

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平面向量基本定理

数学的任务就是把万事万物用数来刻画, 用运算来研究. 我们知道, 一条直线上所有的向量都可以写成该直线上单位向量 $e$ 的实数倍, 如 $\stackrel{\to }{OA}=xe$, 并且用实数 $x$来代表 (这就好比用 $e$ 作为"尺子"来度量 $\stackrel{\to }{OA}$, 得到量数 $x$ ). 同样的道理, 该直线上的向量 $a=xe,b=ye$ 的和或差 $a±b=\left(x±y\right)e$ ，可用 $x±y$ 代表； $\lambda a=\left(\lambda x\right)e$ 可用 $\lambda x$代表. 于是, 共线向量运算 $a±b,\lambda a$ 可转化为实数运算 $x±y,\lambda x$.

平面上的向量并不都共线, 即不能写成同一个向量 $e$ 的实数倍, 但可以取两个不共线的向量 ${e}_{1},{e}_{2}$ 作为 "尺子"，将平面上任一向量表示成 ${e}_{1},{e}_{2}$ 的实数倍之和。

如图 1.4-1，以 $O$ 为起点作 ${\stackrel{\to }{OE}}_{1}={e}_{1},\stackrel{\to }{O{E}_{2}}={e}_{2}$ 。过平面上任意一点 $P$ 作 $MP$ 与 $O{E}_{2}$ 平行或共线, 则 $MP$ 不与 $O{E}_{1}$ 平行或共线（否则 $O{E}_{1}$ 与 $O{E}_{2}$ 就会共线）, 因此 $MP$与直线 $O{E}_{1}$ 交于一点 ${P}_{1}$, 则 $\stackrel{\to }{O{P}_{1}}=x{e}_{1},\stackrel{\to }{{P}_{1}P}=y{e}_{2}$.

于是

$\stackrel{\to }{OP}=\stackrel{\to }{O{P}_{1}}+\stackrel{\to }{{P}_{1}P}=x{e}_{1}+y{e}_{2}$

这说明对平面上任一个向量 $\stackrel{\to }{OP}$, 均可分解为两个不共线向量 ${e}_{1},{e}_{2}$ 的实数倍之

和。下面我们来证明（ $\ast$ ）式中的系数 $x,y$ 唯一确定。

假设实数 ${x}^{\prime },{y}^{\prime }$ 满足 $\stackrel{\to }{OP}={x}^{\prime }{e}_{1}+{y}^{\prime }{e}_{2}$ 。

若 ${x}^{\prime }e x$, 则 ${e}_{1}=\frac{y-{y}^{\prime }}{{x}^{\prime }-{e}_{2}}$, 这说明 ${e}_{1}$ 与 ${e}_{2}$ 共线, 与已知矛盾, 因此 ${x}^{\prime }=x$.

同理可证 ${y}^{\prime }=y$.

由此可得平面向量基本定理：

设 ${e}_{1},{e}_{2}$ 是平面上两个不共线向量, 则

(1) 平面上每个向量 $v$ 都可以分解为 ${e}_{1},{e}_{2}$ 的实数倍之和, 即

$v=x{e}_{1}+y{e}_{2}$

其中 $x,y$ 是实数.

（2）实数 $x,y$ 由 $v=x{e}_{1}+y{e}_{2}$ 唯一决定. 也就是:

如果 $v=x{e}_{1}+y{e}_{2}={x}^{\prime }{e}_{1}+{y}^{\prime }{e}_{2}$, 则 $x={x}^{\prime },y={y}^{\prime }$ 。

我们称不共线向量 ${e}_{1},{e}_{2}$ 组成平面上的一组基 $\left\{{e}_{1},{e}_{2}\right\}$ ，分解式 $v=x{e}_{1}+y{e}_{2}$ 中的系数 $x,y$ 组成的有序数组 $\left(x,y\right)$ ，称为 $v$ 在这组基下的坐标。

取定了平面上一组基 $\left\{{e}_{1},{e}_{2}\right\}$ 之后，可以将平面上每个向量 $v$ 用它在这组基下的坐标来表示, 记为 $v=\left(x,y\right)$.

例1 如图 1.4-2, 平行四边形 $ABCD$ 的边 $BC$ 和 $CD$ 的中点分别是 $E,F$. 取 $\left\{\stackrel{\to }{AB},\stackrel{\to }{AD}\right\}$ 为平面的一组基, 分别求向量 $\stackrel{\to }{AB},\stackrel{\to }{AD},\stackrel{\to }{BC},\stackrel{\to }{CD},\stackrel{\to }{EF}$ 在基 $\left\{\stackrel{\to }{AB},\stackrel{\to }{AD}\right\}$下的坐标.

解：

$\begin{array}{rl}& \begin{array}{rl}& \stackrel{\to }{AB}=1\stackrel{\to }{AB}+0\stackrel{\to }{AD},\\ & \stackrel{\to }{AD}=0\stackrel{\to }{AB}+1\stackrel{\to }{AD},\\ & \begin{array}{rl}\stackrel{\to }{BC}& =\stackrel{\to }{AD}=0\stackrel{\to }{AB}+1\stackrel{\to }{AD},\\ \stackrel{\to }{CD}& =-\stackrel{\to }{AB}=\left(-1\right)\stackrel{\to }{AB}+0\stackrel{\to }{AD},\\ \stackrel{\to }{EF}& =\stackrel{\to }{EC}+\stackrel{\to }{CF}=\frac{1}{2}\stackrel{\to }{BC}+\frac{1}{2}\stackrel{\to }{CD}\\ & =\frac{1}{2}\stackrel{\to }{AD}+\frac{1}{2}\stackrel{\to }{BA}=-\frac{1}{2}\stackrel{\to }{AB}+\frac{1}{2}\stackrel{\to }{AD},\end{array}\end{array}\\ & \text{因此},\stackrel{\to }{AB},\stackrel{\to }{AD},\stackrel{\to }{BC},\stackrel{\to }{CD},\stackrel{\to }{EF}\text{在基}\left\{\stackrel{\to }{AB},\stackrel{\to }{AD}\right\}\text{下的坐标分别为}\\ & \left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(0,1\right),\left(-1,0\right),\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\end{array}$