用微分方程解决追逐问题(图文版)

用微分方程解决追逐问题(图文版)

毛毛虫追逐问题是一个经典的数学模型问题，通过分析毛毛虫的运动轨迹，可以深入了解微分方程的应用。本文将通过一个具体的例子，详细讲解如何使用微分方程来解决这类追逐问题。

例.在自然界中，有一种毛毛虫习惯于追随前面的同伴，因此常常排成一列前进，如下图左侧所示。若将这种毛毛虫分别放在正方形的四个角上，如下图右侧所示，每只毛毛虫始终盯着前面的同伴，并以相同的速度匀速前进，请求出它们的行进轨迹。

（1）分析。可以想象，毛毛虫的行进轨迹呈现螺旋状，逐渐向正方形中心靠拢，最终在中心相遇，如下图所示。

由于所有毛毛虫的速度相同且总是朝向下一个毛毛虫，基于对称性可知，它们始终构成一个正方形，只是该正方形的边长会随时间逐渐缩小，如下图所示。

上述逐渐缩小的正方形正是下面求解的关键。

（2）构建初值问题。以正方形中心为原点建立极坐标系，如下图所示。尝试讨论正方形最右侧角上的毛毛虫的运动，这里用红点表示该毛毛虫，

• 初始时毛毛虫位于正方形的最右侧角上，即在 时刻，红点在极坐标系下的坐标为
• 随着时间推移，红点在 时刻会运动到坐标
• 在任意时刻 ，红点的速度向量为 ，其大小恒为 ，其方向始终指向正方形的下一个顶点
• 将速度向量 分解为径向分量 和角向分量 （径向指的是极点（原点） 和红点的连线方向，沿该方向运动只改变极径 ；与径向垂直的是角向，沿该方向运动只改变极角 ）
• 径向分量 在正方形的对角线上，所以 和 的夹角为

根据上述分析可知，径向分量
的大小
，以及角向分量
的大小
为：

由于毛毛虫朝中心运动，在该过程中极径
是减小的。所以径向速度
，即极径
随时间

变化的速度，为
的相反数：

而角速度
，即极角
随时间
变化的速度，可根据高中物理知识“角速度和线速度的关系”得到：

上面两式相除可消去
，从而推出：

结合上
时刻红点坐标为
，可得初值问题：

（3）求解。变化为可分离变量的微分方程，并且注意到
，所以有：

结合上初值
，可知
，所以得到特解
。

（4）再来看看正方形最顶侧角上的毛毛虫的运动轨迹。在
时刻，该毛毛虫在极坐标系下的坐标为
，所以有初值
，从而可推出
，此时的特解为
。

其余两只毛毛虫的轨迹也是初值不同，同学们可尝试自行分析和求解。