热学要点(二)：热力学第一定律
热学要点(二)：热力学第一定律
热力学是物理学的一个重要分支，主要研究能量的转换和传递。其中，热力学第一定律是热力学的基础之一，它阐述了能量守恒在热力学过程中的具体表现。本文将详细介绍热力学第一定律及相关概念。
热力学过程
进行得太快的热力学过程，中间的状态不是平衡态，宏观参量无法定义，因此不属于普通热力学研究的范围。平衡态热力学研究的过程是准静态的。
准静态过程：热力学过程由于进行得足够缓慢，即等每一步微小的变化达到新的平衡以后，才进行下一步变化，故可看成是由无数个平衡态构成的。
弛豫时间：从前一个平衡态失去到下一个平衡态恢复所需的时间，弛豫时间越短的热力学系统，所经历的过程越接近准静态过程。
实际中很多热力学过程（例如力学平衡的破坏）的弛豫时间都非常短，例如体积不大的体系的弛豫时间一般是毫秒级别，远远小于实际的操作周期，因此准静态的研究结果具有实际意义。
热力学第一定律
系统从外界吸收的热等于系统内能的增量和对外所作的功之和，即
其中，
- $Q$ 代表吸热，
- $Q'$ 代表放热；
- $\Delta U$ 代表内能增加，
- $\Delta U'$ 代表内能减少；
- $W$ 代表系统对外做功，
- $W'$ 代表外界对系统做功。
对一个无穷小的热力学过程，热力学第一定律写成
$$
đQ = đU + đW
$$
因为做功和传热与过程有关，不是态函数，因此这里用 $đ$ 只代表一个微小的量，不是微分。确切的说，$đA$ 和 $đQ$ 是数学上的变分，$đ$ 经常被写成 $\delta$。
内能：在气体动理论部分已知，理想气体的内能是所有分子的动能之和，它是温度的函数，因此内能的增量为（$n$ 为摩尔数，下同）
$$
\Delta U = nC_V\Delta T
$$
一个热力学过程前后内能增加为
$$
\Delta U = U_2 - U_1
$$
做功：如果一个热力学过程是准静态过程，那么做功可用微分
$$
đW = PdV
$$
替代，即
$$
đW = \int_{V_1}^{V_2} PdV
$$
因此就可以直接计算做功了。做功与过程有关，如果热力学过程是确定的，做功肯定也是确定的，但确定的热力学过程如果不是平衡态组成的，状态参量无法定义，因此必须限定一种特殊的热力学过程——准静态过程。
传热：理想气体经历准静态过程，传热总可以通过该准静态过程的热容量来计算，
$$
đQ = C(T)dT
$$
其中 $C(T)$ 是该过程的热容量，因此一个过程的传热计算为
$$
Q = \int_{T_1}^{T_2} C(T)dT
$$
摩尔热容
气体的一般过程的摩尔热容定义为
$$
C = \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_X
$$
具体到常见的三种等值过程分别是：
- 等容过程：$C_V$
- 等压过程：$C_P$
- 等温过程：$C_T$
对理想气体，计算发现
$$
C_P - C_V = R
$$
绝热过程
过程不传热的过程，因此
$$
đQ = 0
$$
所以
$$
đU = -đW
$$
绝热过程满足泊松公式
$$
PV^\gamma = \text{常数}
$$
循环过程
热力学系统经过一系列的状态变化后，回到起始点，这种过程叫做循环过程。在 $P-V$ 图上表现为一个封闭回路。如果过程是沿着顺时针走向，称之为正循环，否则称之为逆循环。
- 吸热：$Q_{\text{吸}}$
- 放热：$Q_{\text{放}}$
正循环：吸热，对外做功
$$
W_{\text{正}} = Q_{\text{吸}} - Q_{\text{放}}
$$
逆循环：放热，外界对系统做功
$$
W_{\text{逆}} = Q_{\text{放}} - Q_{\text{吸}}
$$
热机按正循环的路线工作，效率为
$$
\eta = \frac{W_{\text{正}}}{Q_{\text{吸}}} = 1 - \frac{Q_{\text{放}}}{Q_{\text{吸}}}
$$
制冷机按逆循环的路线工作，制冷系数为
$$
\beta = \frac{Q_{\text{吸}}}{W_{\text{逆}}} = \frac{Q_{\text{吸}}}{Q_{\text{放}} - Q_{\text{吸}}}
$$
卡诺循环：由两个等温过程和两个绝热过程组成的循环，如下图所示正卡诺循环，红色线代表等温过程，绿色线代表绝热过程。
卡诺热机的效率
$$
\eta_{\text{卡诺}} = 1 - \frac{T_2}{T_1}
$$
卡诺制冷机的制冷系数
$$
\beta_{\text{卡诺}} = \frac{T_2}{T_1 - T_2}
$$