旋转矩阵及左右乘的意义：坐标变换与向量旋转的直观解释

旋转矩阵及左右乘的意义：坐标变换与向量旋转的直观解释

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/baidu_38400378/article/details/144443719

旋转矩阵是计算机图形学、机器人学等领域中的重要概念，它既可以用于坐标变换，也可以用于向量旋转。本文将从直观的角度解释旋转矩阵的两种功能，并详细讨论旋转矩阵的左右乘问题。

一、什么是旋转矩阵？

首先需要明确旋转矩阵的两个含义：坐标变换和旋转向量。

1. 坐标变换

对于一个点（或向量）p，可以在不同的坐标系下表示。假设红色坐标系绕黑色坐标系旋转了α角度：

其坐标变换关系可以表示为：

中间的2×2矩阵即为旋转矩阵。需要注意的是，这个矩阵的作用是将p点在旋转后的坐标系（红色）中的坐标转换为旋转前的坐标系（黑色）中的坐标。

从代数的角度来看，旋转矩阵的列向量表示旋转后坐标系的坐标轴在旋转前坐标系中的坐标，即方向余弦。例如，要写出坐标系B相对于坐标系A的旋转矩阵，只需将坐标系B相对于坐标系A的方向余弦写成矩阵形式：

2. 向量旋转

旋转矩阵除了用于坐标变换，还可以用于向量旋转。例如，向量p经过旋转矩阵变换后变为p'：

这一步操作使用的旋转矩阵与坐标变换时相同。理解这一点的关键在于认识到，旋转矩阵实际上是在旋转后的坐标系中取与原坐标系坐标相同的向量，然后再将其投影到原坐标系。

二、矩阵的左右乘

1. 旋转矩阵左乘

当讨论向量旋转时，旋转矩阵按旋转次序依次左乘。例如，一个向量p0先绕x轴转α度，再绕y轴转β度，最后绕z轴转γ度：

总的旋转矩阵R为：

2. 旋转矩阵右乘

当讨论坐标变换时，旋转矩阵按旋转次序依次右乘。例如，已知在C坐标系下表示的向量pC，要求在原始坐标系0下的表示p0：

总的旋转矩阵R为：

总结

旋转矩阵是一个既简单又复杂的概念。通过本文的详细解释，希望读者能够更好地理解旋转矩阵的两种功能及其在实际应用中的区别。本文内容来自CSDN，原文链接：https://blog.csdn.net/baidu_38400378/article/details/144443719