概率论基础：事件关系与概率定义

概率论基础：事件关系与概率定义

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_51385258/article/details/143732674

概率论是数学和统计学中的基础课程，本文将从随机试验与随机事件、事件间的关系及运算、概率的定义以及古典概型和几何概型等方面，帮助读者全面了解概率论的基础知识。

1.随机试验与随机事件

自然界与社会生活中的两类现象：

• 确定性现象
• 不确定现象

1.1 随机试验

如果试验满足以下三个特点：

1. 重复性：相同条件下，试验可以重复进行
2. 明确性：饰演的所有可能结果事先都是已知的
3. 随机性：每次试验的具体结果，在试验前无法预知，就称此试验为随机试验，通常用E表示。

比如：

• 抛一枚硬币，观察其出现正面和反面的情况

1.2 样本点、样本空间与随机事件

样本点：随机试验中每种可能出现的情况，用ω表示样本点。
样本空间：随机试验所有可能出现的结果组成的集合，用Ω表示。

1.3 随机事件

随机事件：样本点组成的集合，称为事件。

• 随机事件是样本空间Ω的子集
  基本事件：由一个样本点组成的事件，称为基本事件。
  例：抛出两枚骰子可能出现的情况有36种
• 两个骰子均为1点的情况，一个样本点组成，基本事件
• 两个骰子点数之和为3的情况，(1,2)和(2,1)两种情况，是一个随机事件

1.4 随机事件发生

一个随机事件A，A事件种包含了一些样本点，在进行随机试验的时候，如果随机试验中的样本点落在了A中，就表示事件A发生了，否则就称A没有发生。

1.5 必然事件和不可能事件

必然事件：样本点组成的集合是样本空间。
不可能事件：样本点组成的集合是空集

2 事件间的关系及运算

2.1 事件包含

如果事件A发生，一定导致事件B发生，就称为事件A包含于B，记作A ⊂ B。

• 事件A发生，当前仅当样本样本点落在A中

2.2 事件相等

事件A和事件B相互包含

2.3 事件的并

事件A和事件B至少有一个发生，记作A ∪ B或者A + B。

2.4 事件的交

事件A和事件B同时发生，记作A ∩ B或AB

• AB ⊂ A ⊂ A ∪ B
• AB ⊂ B ⊂ A ∪ B

2.5 事件的差

一个事件在事件A中不在事件B中，A发生B不发生称为A事件与B事件的差事件

2.6 事件互斥（不相容）

事件A和事件B没有交集，AB = ⊘，从事件的角度来讲，AB不可能同时发生。

2.7 事件对立（逆事件）

事件A和事件B没有交集，并且事件A的样本点+事件B的样本点为样本空间。

• AB = ⊘andA + B = Ω
• 对立一定互斥，互斥不一定对立

例：事件A和事件B恰有一个发生

• A ∪ B表示AB至少有一个发生，也表示事件A和事件B恰好有一个发生或恰好有两个发生

2.8 事件运算律

事件表示：

• A、B、C至少发生一个：A ∪ B ∪ C
• A、B、C同时发生：ABC
• A、B、C恰好一个发生：AB’C’ + A’BC‘+A’B’C

3 概率定义

3.1 概率的统计定义

将随机事件E重复进行n次，如果事件A发生了k次，就称为k为事件A发生的频数，k/A为事件A发生的频率。如果当试验次数n越来越大时，k/n总在某一定值p的附近做微小的、稳定的波动，且当n趋向于无穷大的时候，k/n无线趋向于p，就称p为事件A的概率，记为P(A)，P(A) = p。

• 频率稳定在概率附近
• 使用此定义是求不出概率的

3.2 概率的公理化定义

设随机试验E的样本空间为Ω，如果p满足：

• 非负性，P(A)>=0
• 规范性，P(Ω)=1
• 可列可加性，两两不相同的事件，P ( A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n ∪ . . . ) =P(A_1) + P(A_2) + .....
  就称P(A)为事件A的概率

性质：

• 非负性：设A为任一随机事件，概率在[0,1]
• 规范性：P(Ω) = 1
• 有限可加性
• 差事件的概率公式（减法公式）：设A、B为任意两个随机事件：P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B )
• 如果B ⊂ A，则有P ( A − B ) = P ( A ) − P ( B )，且P ( B ) ≤ P ( A )
• 对立事件概率计算公式：设A为任意随机事件，则P ( A ‾ ) = 1 − P ( A )
• 并事件概率公式（加法公式）：设A、B为任意两个随机事件：P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B )
• A,B如果互斥：P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )
• 推广：P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) + P ( A B C )

4 古典概型

4.1 古典概型

如果随机试验E满足：

• 随机试验E的样本空间Ω中只有有限个样本点
• 每次试验各个基本事件出现的概率相等
  就称随机事件E为等可能概型试验或者古典概型试验。

P ( A ) = 事件 A 所含样本点的个数 / 所有样本点的个数

• 古典概型中的计算方式主要是计数，所以通常采用排列组合的方式
  上述案例中，盒子多球少，每个盒子至多有一个球，n个球需要放到n个盒子中。

4.2 几何概型

如果随机试验E的样本空间为某几何区域（可以是一维或二维区域），每次随机试验中各基本事件出现的概率相等，就称随机试验E为几何概型试验。

P ( A ) = A 的几何测度 / Ω 的几何测度