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滑模控制在FSAE赛车牵引力控制系统中的应用

创作时间:

作者:

@小白创作中心

滑模控制在FSAE赛车牵引力控制系统中的应用

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/chen_aoi/article/details/144067850

本文将介绍如何使用滑模控制设计FSAE赛车的牵引力控制系统（TCS）。主要内容包括系统建模、控制器设计、稳定性分析以及仿真验证。

前言

在【滑模控制】从理论到实战（1）：理论基础中，我们介绍了滑模控制器的设计步骤（基于趋近律设计）。本文将进入实战阶段，设计基于滑模控制的FSAE牵引力控制系统（TCS）。

牵引力控制系统的主要功能是监测车轮转速，当检测到车轮打滑时，通过干预减少或避免打滑，帮助车辆稳定行驶。在FSAE赛车中，为了获得最佳加速性能，需要控制车轮滑移率在特定范围内，以发挥轮胎的最大纵向力。

系统建模

忽略滚动阻力等较小外力的影响，对车轮进行受力分析：

有：
$$
J\dot{\omega}=T_d-F_xR_e \tag{1}
$$
其中，$v_x$为车轮纵向速度，$J$为车轮转动惯量，$\omega$为车轮转速，$T_d$为驱动力矩（系统输入），$F_x$为地面对轮胎的纵向力，$R_e$为车轮等效半径。

为了描述车轮的滑转程度，定义在驱动下的滑移率$\lambda$为：
$$
\lambda=\frac{\omega R_e-v_x}{v_x} = \frac{\omega R_e}{v_x}-1
$$

轮胎纵向力与载荷、滑移率有着以下曲线关系（横轴为滑移率，纵轴为轮胎纵向力，不同颜色曲线对应不同载荷）：

如图所示，在一定载荷下，滑移率约在0.8~0.25的范围内达到最大的轮胎纵向力（牵引力），更大的滑移率反而会使牵引力下降。在FSAE中，为了使赛车拥有最佳的加速性能，在加速过程中需要避免过大的驱动力使轮胎打滑，控制滑移率在特定范围内。

控制器设计

（1）滑模面与趋近律设计

牵引力控制系统的控制目标为控制滑移率到达某一目标值，以发挥出轮胎的最大纵向力。定义误差为：
$$
e = \lambda_d - \lambda
$$

注意到，误差的一阶导数显含控制输入$T_d$（详见下文MATLAB推导）。故设滑模面为：
$$
s = e
$$

有：
$$
\dot{s}=\dot{\lambda}_d - \dot{\lambda}
$$

路面条件和载荷一般不会剧烈变化，为了简化计算，可设$\dot{\lambda}_d=0$，得：
$$
\dot{s}=-\dot{\lambda} \tag{4}
$$

注意到此时$\dot{s}$可与控制输入$T_d$建立方程，可在设计趋近律后求解得控制律$T_d$。设计趋近律为：
$$
\dot{s} = -k_1 \mathrm{sgn}(e) - k_2e \tag{5}
$$

（2）使用MATLAB进行公式推导

求解$\dot{\lambda}$：

syms m mu Re J
syms omega(t) vx(t)
lambda = omega*Re/vx - 1;
d_lambda = diff(lambda, t);

得：
$$
\dot{\lambda}=\frac{R_e, \omega }{v_x}-\frac{R_e,\dot{\omega} , v_x}{{v_x}^2} \tag{2}
$$

联立式(1)、式(2)消去$\dot{\omega}$：

syms T Fx x
equ1 = J*x == T - Fx*Re; % x == d_omega
d_omega = solve(equ1, x);
d_lambda1 = subs(d_lambda, diff(omega(t), t), d_omega);

得：
$$
\dot{\lambda}=\frac{R_e,\left(T-F_x,R_e\right)}{J,v_x}-\frac{R_e,\omega, \dot{v}_x}{{v_x}^2} \tag{3}
$$

联立式(3)-(5)求解控制律：

syms k1 k2 e
equ2 = -d_lambda1 == -k1*sign(e)-k2*e;
syms d_vx
equ2 = subs(equ2, diff(vx(t), t), d_vx); % 存在导数diff时求解会出错，将diff(vx(t), t)记为d_vx
u = solve(equ2, T);

得：
$$
T_d = \frac{F_x,{R_e}^2,v_x+J,k_{1},\mathrm{sgn}\left(e\right),{v_x}^2+J,R_e,\dot{v}x,\omega+J,e,k{2},{v_x}^2}{R_e,v_x} \tag{6}
$$

注意到式(6)中还包含未知量$F_x$，$F_x$可通过魔术公式等轮胎模型得到较为准确的估计，但这在实车中对车辆状态的实时感知有很高的要求，而从上一篇理论基础中可感受到滑模控制鲁棒性之强大（可适应完全未知的$f(x)$），$F_x$可粗略地计算为：
$$
F_x=\mu F_z
$$
式中，$\mu$为路面附着系数，$F_z$为轮胎载荷，轮胎载荷也可进一步建模计算，此处不再展开。

或：
$$
F_x=\xi mA_x
$$
式中，$m$为整车质量，$A_x$为车辆的纵向加速度，$\xi$为将合力$F=mA_x$分配到目标驱动轮的系数，可结合具体情况分析。

在下文中将对比$F_x$的准确度对控制效果的影响。

（3）系统稳定性分析

联立式(3)(4)(6)反求$\dot{s}$：

d_error = -subs(d_lambda1, T, u);
d_error = -subs(d_error, d_vx, diff(vx(t), t));
d_error = simplify(d_error);
pretty(d_error)

得：
$$
\dot{s} = -k_1 \mathrm{sgn}(e) - k_2e
$$
其实就是先前设计得趋近律。

设李雅普诺夫函数$V(s)=\frac{1}{2}s^2$，有$\dot{V}(s)=s\dot{s}$，显然满足：
（1）$V(s)$正定
（2）$\dot{V}(s)$负定
（3）当$||s|| \to \infty$，$V(s) \to \infty$

故系统渐近稳定，有当$t \to \infty$，$s \to 0$。此处滑模面$s=e$比较特殊，但同样可使误差趋向于0。可尝试使用$s=\dot{e}+ce$作为滑模面，可预见的是，公式将更加复杂，并引入了更高阶的状态导数，如$\ddot{v}_x$、$\ddot{\omega}$，在实车部署时将对车辆状态感知带来挑战。

仿真与分析

仿真将通过CarSim与Simulink联合仿真进行。

（1）代码实现

式(6)给出了TCS的目标转矩（记为$T_t$），但在车辆运行中TCS应只在车手给出的驱动转矩（记为$T_r$）过大时才介入，且$T_t \ge 0$，最终输出的转矩$T_d$为：
$$
T_d=\mathrm{min}(T_r, \mathrm{max}(T_t,0))
$$

在Simulink建立仿真模型：

（2）仿真结果分析

上帝模式（使用CarSim提供的准确$F_x$）

将参数$k_2$设为500，$k_1$设为0，假设车手进行全力加速（设$T_r=800$Nm），得到的控制效果如下：

（图中kappa为滑移率、目标滑移率为0.12，error为误差，Torque为驱动轮输出的扭转）

将参数$k_2$设为500，$k_1$设为100，假设车手进行全力加速（设$T_r=800$Nm），得到的控制效果如下：

可见，系统建模足够准确时，
$k_1$设为0，即不引入滑模等速趋近项$\dot{s}_1=-k_1 \mathrm{sgn}(e)$也可取得很好的效果（类似于反演控制器），
而$k_1$设为100后，即引入滑模等速趋近项$\dot{s}_1=-k_1 \mathrm{sgn}(e)$（也称滑模项，滑模控制的灵魂），出现了滑模控制常见的抖动问题，且剧烈跳变的控制动作需要我们关注和优化。