【数理化自学丛书】三面角和多面角的性质定理
【数理化自学丛书】三面角和多面角的性质定理
【阅前提示】本篇出自《数理化自学丛书6677版》，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。
【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。
第一章 直线与平面——平面和平面的位置关系
§1-27 三面角和多面角的性质定理
任何一个多面角，可以将其看作是由若干个三面角组成的。例如四面角，可以作过相对的两棱的平面将它分成两个三面角。由此表明，三面角是研究多面角的基础。
三面角的性质定理：三面角的任何一个面角小于其他两个面角之和。
三面角中的不是最大的一个面角，当然小于其他两个面角之和；因此，要证明这个定理，必须证明三面角中最大的一个面角小于其他两个面角的和。
已知：三面角S—A₁B₁C₁ 中，∠A₁SC₁ 是最大的一个面角（图1·118）。
求证：∠A₁SC₁＜∠A₁SB₁＋∠B₁SC₁ 。
证明：
在面角 A₁SC₁ 内，以 S 为顶点，SA₁ 为边，作 ∠A₁SD₁＝∠A₁SB₁ 。在 SD₁ 上任取一点 D，自点 D 任意作一直线分别交 SA₁、SC₁ 于 A、C，在 SB₁ 上截取 SB＝SD，并且连结 AB、BC 。
在 △SAD 和 △SAB 中，因为 SA＝SA，SD＝SB，∠ASD＝∠ASB，所以 △ASD≌△ASB，因此 AD＝AB 。在 △ABC 中，AC＜AB＋BC，即 AD＋DC＜AB＋BC；因 AD＝AB，所以 DC＜BC 。在 △SCD 和 △SCB 中，SC＝SC，SD＝SB，DC＜BC，所以 ∠DSC＜∠BSC 。因为∠ASD＝∠ASB，所以 ∠ASD＋∠DSC＜∠ASB＋∠BSC，即 ∠A₁SC₁＜∠A₁SB₁＋∠B₁SC₁ 。
从不等式 ∠A₁SC₁＜∠A₁SB₁＋∠B₁SC₁ 的两边减去 ∠B₁SC₁ 得到 ∠A₁SC₁－∠B₁SC₁＜∠A₁SB₁，由此可得：
推论：三面角的任何一个面角大于其他两个面角的差。
多面角的性质定理：多面角的所有面角的和小于 4d（即360°）。
已知：V—A₁B₁C₁D₁E₁ 是多面角（图1·119）。
求证：它的所有面角的和小于 360° 。
证明：
- 以一个任意的平面截这多面角的 n 条棱，得到 n 边形 ABCDE 。把这多边形的每一个顶点（如 A、B 等）都看作顶点，都得到一个三面角（如三面角A—EVB，B—AVC 等等)；在这些三面角中，根据三面角的性质定理，有：
∠EAB＜∠VAE＋∠VAB，
∠ABO＜∠VBA＋∠VBC，
…………
∠DEA＜∠VED＋∠VEA 。
- 把这些同向不等式的两边分别相加，得到左边的和仍小于右边的和。但左边的和就是 n 边形 ABCDE 的所有内角的和，它们是等于 (n－2)2d 。右边的和就是从 n 个三角形 VAB、VBC 等的内角和中减去多面角的所有面角的和 S 所得之差，所以等于 2nd－S 。因此可以得到2nd－4d＜2nd－S，即 S＜4d 。
注意：
对于一个三面角，它的任一面角不能等于其他两个面角的和，对于多面角也如此。并且它们的所有面角的和也不能等于 4d，例如以 100°、50°、50° 作为面角就不能组成一个三面角，同样以 150°、130°、70°、50° 四个面角也不能组成一个四面角。
其次，一个多面角中，它的任何一个面角不能等于 180°，这是因为，如果有一个面角等于 180°，那么它的其余各个面角的和一定要大于这个角，这样，这个多面角各个面角的和就要大于 360° 。
例1. 空间四边形每相邻两边所成的四个角之和小于 360° 。
已知：在空间四边形 ABCD 中，∠A、∠ABC、∠C、∠ADC 是每相邻两边所成的角。
求证：∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＜360° 。
证明：
在三面角D—ABC中，∠ADB＋∠BDC＞∠ADC； (1)
在三面角B—ACD中，∠ABD＋∠DBC＞∠ABC； (2)
(1)＋(2)，得：∠ADB＋∠BDC＋∠ABD＋∠DBC＞∠ADC＋∠ABC； (3)
(3)式两边都加上∠A＋∠C；得 ∠A＋∠ADB＋∠ABD＋∠BDC＋∠DBC＋∠C＞∠A＋∠ABC＋∠ADC＋∠C 。 (4)
但在 △ABD 和 △BCD 中，
∠A＋∠ADB＋∠ABD＝180°，
∠BDC＋∠DBC＋∠C＝180°，
∴ ∠A＋∠ADB＋∠ABD＋∠BDC＋∠DBC＋∠C＝360° 。
代入(4)式的左边得 360°＞∠A＋∠ABC＋∠ADC＋∠C，
即 ∠A＋∠ABC＋∠ADC＋∠C＜360° 。
例2. 三面角中，较大的二面角所对的面角也较大。
已知：在三面角S一ABC中，二面角B—SA—C＞二面角A—SB—C 。
求证：∠BSC＞∠ASC 。
证明：
作二面角B—SA—D，使它等于二面角A—SB—C，SD 为平面 SAD 和平面 SBC 的交线。
∵ 二面角B—SA—C＞二面角A—SB—C，
∴ 二面角B—SA—C＞二面角B—SA—D，
∴ 平面 SAD 在二面角B—SA—C 的内部，
∴ SD 在 ∠BSC 的内部。
在三面角S—ABD中，因为
二面角B—SA—D＝二面角A—SB—C，
由习题1-26第9题可知：∠ASD＝∠BSD 。
但在三面角S一ACD中，根据三面角的性质定理可知：∠ASD＋∠CSD＞∠ASC，
∴ ∠BSD＋∠CSD＞∠ASC 。
即 ∠BSC＞∠ASC 。
注意：上例的证明可以与平面几何学中的“在同一个三角形中，较大的角所对的边也较大”相对照。它们的证明方法也是类似的。与平面几何学一样，它的逆命题也是成立的。即“三面角中较大的面角所对的二面角也较大”。可以应用反证法加以证明。
- 由此可见，立体几何学中的三面角与平面几何学中的三角形是相对应的。平面几何学中有关三角形的许多定理可以推广到立体几何学的三面角中来。本节的三面角的性质定理，下面两节中多面角的全等和多面角的对称以及有关的一些习题都可以与三角形性质对照研究。
习题1-27
由下列每一组中的三个角做面角，能不能构成三面角？
(1) 73°，62°，47°；【能】
(2) 150°，52°，84°；【不能】
(3) 180°，90°，90° 。【不能】求证：多面角的任何一个面角小于其他面角的和。[提示：过其中一条棱和其他各棱分别作平面 ]
用下列每一组中的几个角做面角，为什么不能构成多面角：
(1) 180°，70°，60°，60°；【不能，因其面角的和大于360°】
(2) 100°，150°，130°，90°；【不能，面角和大于360°】
(3) 150°，20°，70°，50° 。【不能，一个面角大于其余面角之和】过一点 A 的三条直线 AB、AC 和 AD 间的角为 ∠BAC＝120°，∠CAD＝75°，∠BAD＝102°，这三条直线是否在同一个平面内？为什么？【三直线不在同一平面内，因其面角之和小于360°】
从平面外一点向平面引两条斜线，如果它们和平面所成的角分别为 64° 和 23°，求这两条斜线夹角的范围。【设斜线的夹角为 α，则角 α 的范围是 41°≤ α ≤93°】
在三面角V—ABC内，自顶点 V 引一直线 VX，求证：
(1) ∠AVX＋∠BVX＋∠CVX＞(1/2)(∠AVB＋∠BVC＋∠CVA)；
(2) ∠AVX＋∠CVX＜∠AVB＋∠BVC；
(3) ∠AVX＋∠BVX＋∠CVX＜∠AVB＋∠BVC＋∠CVA 。
解法举例：
(1)
在三面角V—ABX、V—BCX 和 V—CAX中，由三面角的性质定理可知：
∠AVX＋∠BVX＞∠AVB；
∠BVX＋∠CVX＞∠BVC；
∠CVX＋∠AVX＞∠CVA 。
将三式两边分别相加，得：
2(∠AVX＋∠BVX＋∠CVX)＞∠AVB＋∠BVC＋∠CVA，
∴ ∠AVX＋∠BVX＋∠CVX＞(1/2)(∠AVB＋∠BVC＋∠CVA) 。
(2)
延展平面 AVX，和平面 BVC 交于直线 VD 。
在三面角V—ABD中：∠AVB＋∠BVD＞∠AVD；
在三面角V—CDX中：∠DVX＋∠CVD＞∠CVX 。
将上两式的两边分别相加，得
∠AVB＋∠BVD＋∠DVX＋∠CVD＞∠AVD＋∠CVX 。
∵ ∠BVD＋∠CVD＝∠BVC，∠AVX＋∠DVX＝∠AVD，
∴ ∠AVB＋∠BVC＋∠DVX＞∠AVX＋∠DVX＋∠OVX 。
∴ ∠AVB＋∠BVC＞∠AVX＋∠CVX 。
即 ∠AVX＋∠CVX＜∠AVB＋∠BVC 。
(3)
由(2)得 ∠AVX＋∠CVX＜∠AVB＋∠BVC；
同理可证
∠AVX＋∠BVX＜∠AVC＋∠BVC；
∠BVX＋∠CVX＜∠AVB＋∠AVC 。
三式两边分别相加，得
2(∠AVX＋∠BVX＋∠CVX)＜2(∠AVB＋∠BVC＋∠CVA)，
∴ ∠AVX＋∠BVX＋∠CVX＜∠AVB＋∠BVC＋∠CVA