自动控制原理学习笔记：从离散系统到连续系统
自动控制原理学习笔记：从离散系统到连续系统
自动控制原理是许多工程专业的核心课程，其中离散系统和连续系统的转换是一个重要的知识点。本文将从基本概念出发，通过具体例子和图示，详细讲解离散系统和连续系统的转换及其相关概念，包括差分方程、微分方程、传递函数、极点等。
一、连续系统的导入
在绝大部分控制系统中，传感器和被控对象接收到的信号为连续信号，而控制器接收到传感器的采样信号为离散信号。因此我们需要针对不同类型的信号设计不同的系统。接下来我们以螺旋桨臂平衡系统为例来介绍连续系统，如下图所示。
我们详细绘制出螺旋桨臂平衡系统在离散时间下的方框图（暂时不要求掌握，只是举个例子）：
该系统在连续时间下的方框图如下：
从方框图我们可以发现，在离散系统中，不同的输入信号存在时间间隔；而在连续系统中，时间间隔为零（类比数列与函数）。
二、差分方程和微分方程
离散系统一般使用差分方程来表示，例如：
连续系统一般使用微分方程来表示，例如：
例 1：下列哪个系统方框图可以用如下差分方程表示？
A. B.
C. D.
答案：B
例 2：下列哪个系统方框图可以用如下微分方程表示？
A. B.
C. D.
答案：A
三、离散系统和连续系统
离散系统和连续系统可以用类似的方法进行分析。
从例题 1 可知，差分方程
对应的离散系统方框图为：
从例题 2 可知，微分方程
对应的连续系统方框图为：
在离散系统中，分别给比较点、增益和延时环节提供一个输入信号，若该输入信号与
成比例，则这些模块的输出信号也与
成比例，如下图所示：
即离散系统的特征方程为不同幂函数的和。
在连续系统中，分别给比较点、增益和延时环节提供一个输入信号，若该输入信号与
成比例，则这些模块的输出信号也与
成比例，如下图所示：
例 3：给定离散系统的差分方程和连续系统的微分方程分别为：
则下列说法中正确的为：
A. 该离散系统和连续系统的固有频率和特征方程均相同。
B. 该离散系统和连续系统的固有频率和系统方框图均相同。
C. 该系统的响应只取决于
（或
）和
的大小。
D. 两个系统的固有频率大小均为
。
答案：D
注意，在例 3 中，虽然两个系统的固有频率大小相等，但它们所在的系统不同，其表示的含义是不同的。
当离散系统的固有频率落在复平面的单位圆内（如下图阴影区域所示），离散系统才是稳定的（系统的零输入响应收敛至零）（详见第四章笔记末）。即当
时，
此外，若离散系统稳定：
- 当
时，离散系统的响应是振荡的；
- 当
时，离散系统的响应是单调的；
- 当
时，离散系统的响应是交错级数。
同理，当连续系统的固有频率落在复平面的左半平面内（如下图阴影区域所示），连续系统才是稳定的（系统的零输入响应收敛至零）（详见奥本海姆《信号与系统》拉普拉斯变换）。即当
时，
于是，
- 当
时，连续系统的响应稳定；
- 当
时，连续系统的响应是振荡的；
- 当
时，连续系统的响应是一个正弦信号。
例 4：在下列图像中，复平面下的部分区域用红色阴影来表示：
（1）在哪些区域下，离散系统的响应稳定且振荡？
（2）在哪些区域下，连续系统的响应稳定且振荡？
答案：（1）ABFHL （2）AC
四、连续系统的传递函数和极点
连续系统传递函数的计算方法与离散系统几乎无异（参考上一节笔记），以下图最简单的闭环系统为例：
故该闭环系统的传递函数为：
我们想对一般情况下的闭环系统进行分析。假设某个闭环系统包含比较点、增益或微分（或积分）等环节，则该系统的传递函数一定可以用一个有理函数来表示：
假设某个闭环系统的前向路径包含一个闭环环节，则该前向路径可以用一个有理函数
来表示；假设某个闭环系统的反向路径包含一个闭环环节，则该反向路径也可以用一个有理函数
来表示，如下图所示。
我们代入之前得到的闭环系统传递函数的公式，于是：
由于有理函数的乘积是有理函数，故该系统的传递函数仍是有理函数。
现在我们得到了闭环系统的传递函数
为一个有理函数。要想得到系统的固有频率，我们需要把该传递函数拆分为部分分式。
化简，得：
部分分式展开，得：
于是，
为系统的极点，即系统的固有频率。
例 5：假设表示某个控制系统的微分方程为：
则下列说法中正确的有哪些？
A. 若
，则
。
B. 该系统有两个极点。
C. 该系统的极点为
和
。
D. 该系统的阶跃响应是振荡的。
答案：AB
五、案例分析
我们回到最开始螺旋桨臂平衡系统的例子中，这次我们只截取其中的电机模块进行分析，如下图所示：
该子系统的输入为一个电压信号
，输出为平衡臂的角加速度
。
当电压信号
为常数
时，我们的目标是找到合适的参数
，使得系统的稳态响应
，其中
为我们定义的参数值。
经过观察发现，若系统的输出信号为一个常数，则积分模块的输入信号为零；若积分模块的输入信号为零，则比较点的两个输入信号之和为零，即：
由于
，代入化简得：
接下来我们想知道这个系统的阶跃响应（下面计算如果使用拉普拉斯变换将更加容易，这里我们采用高等数学中的做法）。首先把描述系统的微分方程表示出来：
假设平衡臂的角加速度初始条件为零，且当
时，输入信号
。则我们假设输出信号
可以由齐次解和非齐次解共同组成。由于非齐次解
和输入信号都为常数，我们令
并代入到微分方程中，得到
。
令输入信号
，我们再求解该微分方程的齐次解。
当
时，我们令
，得：
解得
，于是：
代入
，得到系统的通解为：
即为系统的阶跃响应。当
时，作出时域下的响应信号如下：
终于，我们已经完成了由离散系统到连续系统的转变，但我们对连续系统的认知依然有限。关于连续系统的频域分析法，详见下回分解。