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球面和螺旋环面测地线及可视化

创作时间:

作者:

@小白创作中心

球面和螺旋环面测地线及可视化

引用

来源

https://www.bilibili.com/read/mobile?id=33191741

本文讨论了球面和螺旋环面的测地线及其可视化。通过具体的数学推导和例题，展示了测地线理论在球面和螺旋环面中的应用。

球面诱导线元和度规

诱导线元

球面的诱导线元可以通过度规张量来描述。对于球面，度规张量的非零分量为：

$g_{\theta\theta} = R^2$
$g_{\phi\phi} = R^2 \sin^2\theta$

其中，$\theta$ 是极向角，$\phi$ 是环向角，$R$ 是球面的半径。

度规

球面的度规张量可以表示为：

$$
g_{ij} = \begin{pmatrix}
R^2 & 0 \
0 & R^2 \sin^2\theta
\end{pmatrix}
$$

克氏符非零分量

克氏符（Christoffel 符号）的非零分量为：

$\Gamma^\theta_{\phi\phi} = -\sin\theta \cos\theta$
$\Gamma^\phi_{\theta\phi} = \Gamma^\phi_{\phi\theta} = \cot\theta$

测地线方程

测地线方程可以表示为：

$$
\frac{d^2x^i}{d\lambda^2} + \Gamma^i_{jk} \frac{dx^j}{d\lambda} \frac{dx^k}{d\lambda} = 0
$$

将克氏符分量带入并整理得：

$\frac{d^2\theta}{d\lambda^2} - \sin\theta \cos\theta \left(\frac{d\phi}{d\lambda}\right)^2 = 0$
$\frac{d^2\phi}{d\lambda^2} + 2\cot\theta \frac{d\theta}{d\lambda} \frac{d\phi}{d\lambda} = 0$

例题1：经线

初始条件：$Y_0 = [\pi/2, \pi, 1.00, 0.00]$；其中第一、二、三和四项分别表示极向角、环向角、极向角随仿射参数导数、环向角随放射参数导数在初始时刻的值。

图1 测地线——经线

例题2：赤道

初始条件：$Y_0 = [\pi/2, \pi, 0.00, 0.00]$；

图2 测地线——赤道

螺旋环面参数方程及度规

螺旋环面参数方程

螺旋环面的参数方程可以表示为：

$$
\begin{aligned}
x &= (R_0 + R_1 \cos(\phi)) \cos(\theta) \
y &= (R_0 + R_1 \cos(\phi)) \sin(\theta) \
z &= Z_1 \sin(\phi) + Z_2 \cos(N\phi)
\end{aligned}
$$

其中，$R_0$ 是大圆半径，$R_1$ 是小圆半径，$Z_1$ 和 $Z_2$ 是螺旋参数，$N$ 是螺旋次数。

绘制螺旋环面

参数取值：$R_0 = 5, R_1 = 1.5, Z_1 = -1.5, R_1 = 0.5, Z_1 = 0.5, N = 5$；

图3 螺旋环面（仿星器磁面）

螺旋面上诱导线元

使用条件 $R_1 = -Z_1$ 和 $R_1 = Z_1$，螺旋面上的诱导线元可以表示为：

$$
ds^2 = (R_0 + R_1 \cos\phi)^2 d\theta^2 + (R_1^2 + Z_1^2) d\phi^2
$$

协变度规分量及逆变度规分量

协变度规分量为：

$$
g_{ij} = \begin{pmatrix}
(R_0 + R_1 \cos\phi)^2 & 0 \
0 & R_1^2 + Z_1^2
\end{pmatrix}
$$

逆变度规分量为：

$$
g^{ij} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{(R_0 + R_1 \cos\phi)^2} & 0 \
0 & \frac{1}{R_1^2 + Z_1^2}
\end{pmatrix}
$$

克氏符分量

按克氏符表达式计算其分量：

$\Gamma^\theta_{\phi\phi} = -\frac{R_1 \sin\phi}{R_0 + R_1 \cos\phi}$
$\Gamma^\phi_{\theta\phi} = \Gamma^\phi_{\phi\theta} = \frac{R_1 \sin\phi}{R_1^2 + Z_1^2}$

测地线方程

将计算结果带入测地线方程中求解常微分方程：

$\frac{d^2\theta}{d\lambda^2} - \frac{R_1 \sin\phi}{R_0 + R_1 \cos\phi} \left(\frac{d\phi}{d\lambda}\right)^2 = 0$
$\frac{d^2\phi}{d\lambda^2} + 2\frac{R_1 \sin\phi}{R_1^2 + Z_1^2} \frac{d\theta}{d\lambda} \frac{d\phi}{d\lambda} = 0$