线性代数导引：仿射空间

线性代数导引：仿射空间

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/universsky2015/article/details/139757925

仿射空间是线性代数中的一个重要概念，它是向量空间的一种推广，能够描述更加一般的几何变换。本文将从背景介绍开始，逐步深入到向量空间和仿射空间的核心概念，并解释它们之间的联系。

1.背景介绍

线性代数是一门研究向量空间理论的数学分支，是数学的一个基础课程，也是工程、科学等学科的一个重要数学工具。线性代数在计算机图形学、机器学习、计算机视觉等领域有着广泛的应用。其中，仿射空间是线性代数中一个重要的概念，它是对向量空间的一种推广。

仿射空间可以看作是向量空间加上一个固定的向量，这个固定的向量称为仿射空间的位移向量或平移向量。仿射空间保留了向量空间的线性运算，同时增加了平移变换，使得仿射空间能够描述更加一般的几何变换。

2.核心概念与联系

2.1 向量空间

向量空间是线性代数的基础概念，它由一个非空集合及两种运算（加法和数乘）构成。向量空间满足以下8个公理：

1. 加法交换律
2. 加法结合律
3. 存在加法单位元（零向量）
4. 存在加法逆元
5. 数乘单位元存在
6. 数乘结合律
7. 数乘分配律
8. 数乘交换律

2.2 仿射空间

仿射空间是向量空间的一种推广，由一个向量空间V和一个固定的向量p（称为位移向量或平移向量）构成，记作(V,p)。仿射空间中的元素称为仿射点，由向量空间中的一个向量加上位移向量p构成。

仿射空间保留了向量空间的加法和数乘运算，同时增加了平移变换。对于任意仿射点x和向量v，有：

$$x+v=\left(x-p\right)+v+p$$