梅涅劳斯定理教学（梅涅劳斯定理）
梅涅劳斯定理教学（梅涅劳斯定理）
梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理，它描述了三角形三边上的共线点与线段比例之间的关系。这个定理不仅在数学竞赛中经常出现，而且在实际问题中也有广泛的应用。本文将从定理的来源、内容、证明方法，到其逆定理的应用，再到一个创新的“旅游景点”记忆法，层层递进，帮助读者深入理解这个重要的几何定理。
梅涅劳斯定理的定义与证明
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么
$$(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1$$
证明：过点A作AG∥BC交DF的延长线于G, 则
$$AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG$$
三式相乘得：
$$AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1$$
梅涅劳斯定理的逆定理
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足
$$(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1$$
则F、D、E三点共线。
利用这个逆定理，可以判断三点共线。
创新的记忆方法
为了帮助大家更好地理解和记忆梅涅劳斯定理，这里介绍一个创新的“旅游景点”记忆法：
假设图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。
例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。
从A点出发的旅游方案共有四种：
方案 ① ——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。按照这个方案，可以写出关系式：（AF：FB）（BD：DC）（CE：EA）=1。
方案 ② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：（AB：BF）（FD：DE）（EC：CA）=1。
方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：（AC：CE）（ED：DF）（FB：BA）=1。
方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：（AE：EC）（CD：DB）（BF：FA）=1。
我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。
不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。