常见分布的数学期望和方差

常见分布的数学期望和方差

数学期望和方差是概率论与数理统计中的两个重要概念，它们分别反映了随机变量取值的平均水平和离散程度。本文将从基本定义出发，介绍期望和方差的性质、计算方法及其在统计学中的应用，并详细讨论常见概率分布的期望和方差。

期望与方差的基本概念

数学期望的由来

早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？

用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

数学期望的定义

定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为ip （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞=1=∞，则数学期望不存在。

定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.

数学期望的性质

（1）设C 是常数，则E(C )=C 。

（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。

（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

方差的定义

前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξD 叫标准差，反映了ξ的离散程度.

定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称]))([(2X E X E -为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。

方差的性质

方差具有可加性：对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。

方差具有对称性：对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。

方差具有非负性：对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。

数学期望与方差的应用

在统计学中的应用

• 描述性统计：数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
• 参数估计：通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
• 假设检验：在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统计量，判断原假设是否成立。

常见分布的数学期望及方差

均匀分布

均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上限。

柯西分布

柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西分布的参数。

拉普拉斯分布

拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普拉斯分布的参数。

泊松分布

泊松分布是一种离散型随机变量分布，用于描述在一段时间内随机事件发生的次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中λ是随机事件发生的平均速率。

正态分布

正态分布是一种常见的连续型随机变量分布，其方差记作σ²。正态分布的方差描述了随机变量取值的分散程度。

二项分布

二项分布是一种离散型随机变量分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次试验成功的概率。

常见概率分布汇总表

超几何分布和二项分布的期望和方差公式

超几何分布和二项分布是两种常见的概率分布，分别用于描述随机实验中某种结果出现的次数。下面是超几何分布和二项分布的期望和方差公式：

• 超几何分布：
• 期望：E(X) = n * p
• 方差：Var(X) = n * p * (1 - p)
• 二项分布：
• 期望：E(X) = n * p
• 方差：Var(X) = n * p * (1 - p)

其中，n 是随机实验的次数，p 是某种结果出现的概率。

常见概率分布期望方差以及分布图汇总

常见分布的数学期望和方差

指数分布

设随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 x3 … xi … xn
P p1 p2 p3 … pi … pn
则(xi－E(X))2描述了(xi=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度。而
D( X ) ( xi E( X ))2 pi
i 1
为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X 与其均值E(X)的平均偏离程度。我们称D(X)为随机变量X 的方差。

超几何分布

如果随机变量 X 的分布列为两点分布列,就称 X 服从两点分布,而称 p为成功概率。两点分布的特征:
1.试验结果只有两个
2.随机变量的取值只有0,1两个

常见分布的数学期望和方差

• 指数分布：X ~ E()。E( X ) = 1/，D( X ) = 1/2

• 0-1分布：X 0 1
  P 1 p p
  E( X ) = 0(1 p) 1 p = p
  E( X 2 ) = 02 (1 p) 12 p = p
  D( X ) = E( X 2 ) [E( X )]2 = p p2 = p(1 p)

• 二项分布：X ~ B(n, p)。E( X ) = np，D( X ) = np(1 p)

• 泊松分布：X 0 P e
  1 1 e 1!
  2 ... 2 e ... 2!
  n ... n e ... n!
  EX = 1
  e
  2 2
  e
  3 3
  e
  ... n n e
  ... 1!
  2!
  3!
  n!
  e 1
  2 ... n1
  2!
  E( X ) = λ，D( X ) = λ

• 正态分布：X ~ N(μ, σ2)。E( X ) = μ，D( X ) = σ2

概率分布的期望与方差计算示例

例1：求正态分布的数学期望和方差

正态分布是一种常见的概率分布，它按照正态曲线的形状分布。正态分布有两个重要的参数，分别是数学期望和方差。数学期望是指随机变量的平均值，它是正态分布的重要参数之一。对于正态分布而言，数学期望被定义为分布的中心点，即对称轴。从数学上来讲，正态分布的数学期望可以用公式E(X)=μ来计算,其中μ为正态分布的均值。

方差是指随机变量与其数学期望之差的平方的期望值。方差是描述数据分布模式的重要参数，它越小，表示数据越聚集；反之，则数据越分散。对于正态分布而言，方差可以用公式Var(X)=σ²来计算,其中σ²为正态分布的方差。

例2：泊松分布的数学期望与方差

泊松分布是一种常见的离散概率分布，用于描述单位时间或单位空间内随机事件的发生次数。泊松分布的数学期望和方差可以通过其参数λ来计算。泊松分布的数学期望为μ = λ，即平均每个单位时间或单位空间内事件的平均发生次数等于λ。例如，λ=2表示平均每个单位时间或单位空间内发生2次事件。泊松分布的方差为σ^2 = λ，即每个单位时间或单位空间内事件的发生次数的方差等于λ。方差表示随机变量的离散程度，泊松分布的方差等于其数学期望。

如果泊松分布的参数λ较大，那么其数学期望和方差也会相应增加，整个分布会呈现出较大的中心趋势和较大的离散程度。反之，如果λ较小，分布的中心趋势和离散程度也会相应减小。泊松分布的数学期望和方差都与其参数λ有关，数学期望等于λ，方差也等于λ。

随机变量的数字特征

例12：设X ~ B(n , p), Y = eaX,求E（Y）

解：
EY EeaX n eak P( X k)
k0
n
e
akC
k n
pk (1
p)nk
k0
n
C
k n
(e
a
p)k (1
p)nk
k0
(ea p (1 p))n

例13：设X ~ U[0,], Y =sinX,求E（Y）

解：略

例14：设随机变量X服从参数为p 的两点分布，求EX

解： EX=0×(1-p)+1×p=p

例15：设随机变量X~B(n,p)，求EX

解： 易知 X 的概率分布为：
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, , n
k!
E( X ) kP( X k)
k k e
k0
k0 k!
ee
e
e

例16：某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望.

解:设试开次数为X,

常见的概率分布

常见的概率分布包括离散分布和连续分布两大类。以下是几种常见分布的简要介绍：

0-1分布（伯努利分布）

它的分布律为：
[P{X=k}=p^k(1-p)^{1-k}, k=0,1, (0<p<1)]
0-1分布记作：(X \sim b(1,p))
期望：(E(X)=p)
方差:(D(X)=p(1-p))
常用场景：新生婴儿性别的登记，招生考试的录取，产品的是否合格，硬币的正反面。

二项分布

二项分布为(n)重伯努利实验的概率分布。分布律为：
[P{X=k}=\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n,(0<p<1)]
[\sum\limits_{k=0}^{n}P{X=k}=\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1]
二项分布记作：( X \sim b(n,p))
期望：(E(X)=np)
方差:(D(X)=np(1-p))
常用场景：比如一个人射击(n)次，其中(k)次命中的概率，抽查50台设备，其中10台出故障的概率等等。

多项分布

多项式分布是二项式分布的扩展，在多项式分布所代表的实验中，一次实验会有多个互斥结果，而二项式分布所代表的实验中，一次实验只有两个互斥结果。

总结

数学期望和方差是概率论与数理统计中的两个重要概念，它们分别反映了随机变量取值的平均水平和离散程度。通过本文的介绍，读者可以更好地理解这两个概念的定义、性质、计算方法及其在统计学中的应用，并掌握常见概率分布的期望和方差。这些知识对于深入学习概率论与数理统计、进行数据分析和统计推断具有重要意义。