余弦定理、正弦定理应用举例

余弦定理、正弦定理应用举例

余弦定理和正弦定理是解决实际问题中角度和距离计算的重要工具。本文将详细介绍这些定理在实际问题中的具体应用，包括俯角和仰角、方向角和方位角、坡度和坡比、基线、高度与角度问题、数学建模思想、解三角形应用题的具体操作程序、解三角形应用题常见的两种情形等知识点。

俯角和仰角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。

方向角和方位角

方向角和方位角是测量中常用的两个概念：

1. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角。目标方向线方向一般可用“×偏×”多少度来表示，这里第一个“×”是“北”或“南”，第二个“×”是“东”或“西”。如图所示，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东60°、北偏西30°、南偏西45°、南偏东20°。

2. 方位角：从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角叫方位角。

坡度和坡比

坡度和坡比是描述斜面倾斜程度的两个重要参数：

• 坡度：坡面与水平面所成的夹角的度数叫坡度。
• 坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡比。

基线

在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线。在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度。一般来说，基线越长，测量的精确度越高。

高度与角度问题

1. 高度问题

测量底部不可到达的建筑物的高度问题。由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。

2. 角度问题

测量角度就是在三角形内，利用正弦定理和余弦定理求角的三角函数值，然后求角，再根据需要求所求的角。

数学建模思想

解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到实际问题的解，这就是数学建模思想。

解三角形应用题的具体操作程序

1. 在弄清题意的基础上作出示意图；
2. 在图形上分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量；
3. 用正、余弦定理进行求解；
4. 根据实际意义与精确度要求给出答案。

解三角形应用题常见的两种情形

1. 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。
2. 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充分的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解。

本文原文来自“数学教育网站”。