变上限积分函数的等价无穷小代换不能乱用
变上限积分函数的等价无穷小代换不能乱用
变上限积分函数的等价无穷小代换不能乱用，这里有些老师讲课的时候都没有注意到，变上限积分函数等价无穷小代换的前提条件。
以下结论是错误的：
当 (x \rightarrow 0) 时，如果 (g(x) \sim h(x))，且 (\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0)，则有
[
\int_0^{g(x)} f(t) , dt \sim \int_0^{h(x)} f(t) , dt
]
一个“假”的反例
有小伙伴认为，如果
[
g(x) = x^2 + x^3 \sin \frac{1}{x}, \quad h(x) = x^2, \quad f(x) = x
]
可以得到
[
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} f(t) , dt}{\int_0^{h(x)} f(t) , dt} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{h(x)} \cdot \frac{g'(x)}{h'(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3 x^2 \sin \frac{1}{x} - x \cos \frac{1}{x} + 2 x}{2 x}
]
极限“不存在”就说这是一个反例。实际上这是一个“假”的反例，事实上
[
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)-h(x)} f(t) , dt}{\int_0^{h(x)} f(t) , dt} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^3 \sin \frac{1}{x}} t , dt}{\int_0^{x^2} t , dt} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^6 \sin^2 \frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^4} = 0
]
也就是说
[
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} f(t) , dt}{\int_0^{h(x)} f(t) , dt} = 1
]
真正的反例
[
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x e^{-\frac{1}{t^2}} , dt}{\int_0^{\sin x} e^{-\frac{1}{t^2}} , dt} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{e^{-\frac{1}{\sin^2 x}} \cdot \cos x} = \lim_{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{x^2}} = e^{\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2 - \sin^2 x}{x^4}} = e^{\frac{1}{3}} \neq 1
]
这个被积函数是怎么想出来的呢？我们先看一个结论的证明。
变上限积分函数的等价无穷小代换的结论和证明
当 (x \rightarrow 0) 时，如果 (g(x) \sim h(x))，且 (\lim\limits_{x \to 0} \frac{g'(x)}{h'(x)} = 1)（这个条件给的很强，比如前面的“假”的反例就不满足，不过考研当中经常可以满足），且在 (x = 0) 的某去心邻域内 (g(x) \neq 0, h(x) \neq 0)，则有
[
\int_0^{g(x)} t^m , dt \sim \int_0^{h(x)} t^m , dt, \quad m > 0
]
其中 (m > 0)，
证明：
[
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{g(x)} t^m , dt}{\int_0^{h(x)} t^m , dt} = \lim_{x \rightarrow 0} \left[\frac{g(x)}{h(x)}\right]^m \frac{g'(x)}{h'(x)} = 1
]
反例是怎么想到的呢？
我们注意到证明的最后一步
[
\lim_{x \to 0} \left[\frac{g(x)}{h(x)}\right]^m \frac{g'(x)}{h'(x)} = 1
]
这里的 (m) 是有限值，所以极限一定是1，那么如果是 (1^{\infty}) 的形式的话，这个极限就未必是1了，也就是说我们找的被积函数要比 (x) 的任意有限阶次幂高阶才有可能行，而
[
\lim_{x \to 0} \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^n} = 0
]
(不论 (n) 有多大)，因此分子 (e^{-\frac{1}{x^2}}) 作为被积函数是可能是反例。
总结
变上限积分函数的等价无穷小代换是有前提的，不能“无脑”等价，尤其是在大题中如果出现抽象函数，更是要慎用变上限积分函数的等价无穷小代换。