高数核心理论：导数与微分的深度解析

高数核心理论：导数与微分的深度解析

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/jsl123x/article/details/134311314

导数和微分是微积分学中的重要概念。导数指的是一个函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。微分则是对一个函数进行微小的变化，并计算这个变化所引起的函数值的变化量。导数和微分的概念密切相关，它们是微积分学中的基础，也是应用数学中的常见问题解决方法之一。

考研数学一的大纲要求

1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
5. 理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。
6. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

本章的内容相对不重要一些，因此很多知识点的证明简写，如果有需要自行翻书阅读。

导数与微分的核心知识点

1. 导数的定义
2. 单侧导数
3. 导数的几何意义
4. 可导性与连续性的关系
5. 用定义求解导数（笔记中的标号漏掉了）
6. 求导和差法则的证明
7. 求导积商法则的证明
8. 反函数求导
9. 复合函数求导法则
10. 高阶导数
11. 莱布尼茨公式
12. 隐函数求导
13. 参数方程求导
14. 微分

重点知识点解析

1. 在导数的定义内容中，重点在于y值变化量和x值变化量的比值，以及趋于0的变量是x的变化值；意义在于，因变量随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 单侧导数，本质就是两种逼近方式的区别
3. 几何意义，即为该点处的斜率
4. 根据定义可知，可导一定连续，而连续不一定可导（证明时用到了变化值趋于零时改变量趋于零，也就是函数值等于极限值）
5. 用定义求导数时，需要熟记导数的三种定义
6. 和7都是有关倒数的证明题，需要说明的是，无论如何，有关证明的部分最终一定会回归到定义上

8. 有关反函数求导定理的证明，看看即可，重点是牢记原函数导数的倒数的规则
   9+10都是很基础的求导计算题，不再赘述
9. 莱布尼茨公式类似二项式展开定理，看看就好
   12+13也是求导计算题，各自的计算方式要牢记
   14~16微分相关的基础定义，本质上就是对于导数定义的移项（微分的几何意义就是将变化量无限缩小）