摆线及其性质

摆线及其性质

摆线是数学中一个重要的几何概念，它描述了一个圆沿着一条直线滚动时，圆边界上一个固定点所形成的轨迹。本文将对摆线做一个介绍并列举一些摆线的基本性质。

什么是摆线

在数学上，摆线指的是一个圆沿着一条直线滚动时，圆边界上一个固定的点所形成的轨迹，如图 1 所示的这条红线即为摆线：

图 1. 摆线示意图

摆线的基本性质

一个半径为 $r$ 的圆所形成的过平面直角坐标原点的摆线的参数方程为：
$$
\left{\begin{matrix}
x = r(t – \sin t);\
y = r(1 – \cos t).
\end{matrix}\right.
$$

上面的参数 $t$ 是该圆滚动过的角度，当圆滚动一周 ($t = 0 \rightarrow 2 \pi$) 就会形成一个完整的“拱”。这个完整的“拱”有如下性质：

1. 拱的跨度为 $2 \pi r$ (一个圆转了 360 度之后刚好转完一周，因此，这个圆“行走的轨迹”的长度，同时也是拱的跨度，刚好是圆的周长)。
2. 拱的长度为 $8r$ (圆直径的 $4$ 倍)。
3. 拱和坐标轴所围成图形的面积为 $3 \pi r^{2}$ (圆面积的 $3$ 倍)。
4. 拱的高度为 $2r$ (一个拱的最高点的高度就是元的直径)。

例如图 2 所示，这是一个由半径为 $2$ 的圆所生成的摆线，从图中可以看到该摆线的两个完整的拱：

图 2. 摆线示意图