中国科技大学实现用量子寻找黎曼函数零点，什么是黎曼函数

中国科技大学实现用量子寻找黎曼函数零点，什么是黎曼函数

中国科学技术大学郭光灿院士团队在基于离子阱系统寻找黎曼函数零点的研究中取得重要进展。该团队李传锋、黄运锋、崔金明等人，联合西班牙的合作者利用周期性地驱动囚禁离子的量子状态，成功在实验上测量到黎曼函数的前80个零点。该研究成果日前发表在国际知名学术期刊《NPJ量子信息》上。

科学家实现用量子系统寻找黎曼函数零点
记者从中国科学技术大学获悉，该校郭光灿院士团队在基于离子阱系统寻找黎曼函数零点的研究中取得重要进展。该团队李传锋、黄运锋、崔金明等人，联合西班牙的合作者利用周期性地驱动囚禁离子的量子状态，成功在实验上测量到黎曼函数的前80个零点。该研究成果日前发表在国际知名学术期刊《NPJ量子信息》上。

伯恩哈德·黎曼于1859年提出了黎曼猜想，是千禧年七大难题之一，其证明将极大地促进人们对于质数分布规律的认识。虽然数学家们孜孜以求，至今黎曼猜想仍然悬而未决。在所有可能的解决方案中，一个非常有趣的想法是希尔伯特-波利亚猜想，它将黎曼函数与量子理论结合起来。希尔伯特-波利亚猜想认为存在一个量子系统，其哈密顿量的本征值与黎曼函数的零点对应。很多物理学家被这个猜想所吸引，并发现了许多有潜力的静态哈密顿量。但是这些静态哈密顿量难以在实验上实现。

研究团队在国际上首次提出了一种准静态哈密顿量方法。通过设计一种驱动函数周期性地驱动量子比特，能够实现量子态的准静态演化，使得当系统的准能量等于黎曼函数零点时，该量子系统在整数周期节点保持不变，即发生相干隧穿抑制。科研人员在自主研发的囚禁离子阱中率先实现了该方案。得益于该离子阱系统的长相干时间，研究团队实现了30个周期的高保真度驱动，并测量到了黎曼函数的前80个零点，比该领域此前的工作提升了近两个量级。

该实验结果对于人们研究希尔伯特-波利亚猜想，并深入理解黎曼猜想与量子系统的联系提供了重要的实验依据。审稿人高度评价：“实现该方案需要高度的实验独创性，理论和实验描述得很清晰，得到的黎曼零点数量大而且准确度高。”

黎曼说：我有个猜想。
7个悬赏100万美元的千禧年难题
从千禧年开始悬赏100万美元的黎曼猜想最近又火了一次。这100万美元，被数学家们戏称为，当今世上最难赚到的100万美元。

现年89岁的英国数学泰斗Atiyah爵士，是菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主、英国皇家学会前主席。

他在9月24日的海德堡国际数学与计算机科学获奖者论坛上做了报告，声明他已经破解了黎曼猜想，但结果仍待诸位大牛苦苦验证，可能至少需要几个月的时间才能见分晓。

英国数学家Atiyah爵士在海德堡的论坛上发言

1、“四大数学猜想”
黎曼猜想是1900年希尔伯特提出震古烁今二十三个数学问题中的第八个。可是黎曼猜想到底是什么，能把黎曼猜想说清楚的人不多。

因为相比初中生至少能看懂题目的“三大猜想”，黎曼猜想的命题本身就不是一般人能看懂的，所以想普及也很难。

然而从重要性的角度上来讲，黎曼猜想绝对可以并称为四大数学猜想，甚至是扛把子的。囧才才做了一张图，可以一眼看清楚“四大数学猜想”的关系的现状。

“四大数学猜想”（简称F4）的关系的现状

四色猜想：由美国数学家Appel与Haken借助计算机完成，遂称四色定理。

费马猜想：1995年由英国数学家Wiles证明，现在叫费马大定理。

哥德巴赫猜想：中国数学家陈景润的“陈式定理”（俗称“1+2”），距离其最终证明“1+1”还差“最后一步”。

黎曼猜想：Atiyah爵士正在小黑屋鏖战中，胜负难料。

趁Atiyah和黎曼鏖战之际，咱们简单地回顾一下黎曼猜想到底是个什么鬼。

黎曼猜想：不服来证

2、必须从ζ函数开始
首先，来看看ζ(zeta)函数的定义和形式：

ζ函数（zeta函数）

显然，这是一个无穷级数。例如，当s=2的时候，这个无穷级数的和，是π^2/6，是大数学家欧拉算出来，其实这个函数形式最早也是欧拉提出来的。

无穷级数ζ(2)=π^2/6

如果你继续代入s=3，s=4，就会发现，这个无穷级数和越来越快地趋近于1。为啥？因为分母的次方数越大，收敛的速度就更快嘛！

只要s是正整数，或者是>1的实数，我们理解起来都没问题，因为这个级数收敛的，总能算出一个极限值来。

甚至当s=0.5，相当分母开平方：ζ(0.5)=1/1+1/1.414+1/1.732+…。虽然求和并不收敛，但每一项也是递减的，也比较容易理解。

但假如s<0呢？你可能听说过，有一个奇怪的说法，叫做全体自然数的和是-1/12，如下图所示。这到底是怎么回事呢？稍后揭晓谜底。

全体自然数的和居然等于-1/12？

3、冲出实数，走向复数
黎曼作为复分析的鼻祖，他不满足于是在实数范围内使用ζ函数，他想把ζ函数扩展到复数域！

假如把ζ(s)的s，从实数域扩展到复数域，会发生什么事呢？

比如s=2+i，好像没见过一个数的2+i次方啊！

没关系，复数嘛，无非就是拆成实部和虚部，成为一个有模和方向的向量。

n的2+i次方，可以分成“n的2次方”和“n的i次方”两部分。

比如说1/2的2+i次方，就可以拆成实部和虚部，实部负责定长短（1/2×1/2=1/4），虚部负责转角度，其实就是得到一个向量。

图中的红点就是1/2的2+i次方所在的位置。因为e^bi=cosb+isinb，所以(1/2)^i就等于e^(ln0.5)i=cos ln0.5+isin ln0.5≈0.77-0.64i。

然后再乘以1/4，就是结果。

复指数函数的实部和虚部分别计算的示例

只要能理解复数次方，更神奇的事情就来了。

对于ζ函数这个级数来说，相当于由一段段具有相同角度的向量首尾无限拼接出来，像一个植物触角的生长过程。

有没有想起鹦鹉螺？

鹦鹉螺和鹦鹉螺旋线

没明白？没关系，举个例子，当s=1.5-i时，ζ(1.5-i)的结果如下图所示：

ζ函数的可视化求解过程

要注意的是，ζ函数只有当s>1的时候才收敛，也就是这个触角会无限接近于某一点。

使ζ函数收敛需满足s>1

4、大数据一定要可视化
如果我们将s=1这条直线右半边的每一个s点都挪到对应的触角点，即ζ(s)，我们就可以得到ζ函数的坐标转换。【预警！！！前方烧脑】

黎曼ζ函数在s>1段的坐标变换过程图

变换前横平竖直的线，几乎全都被黑洞般的(1,0i)点吸了进去，然后吐出了一圈一圈波浪形纹路的圈圈。

这严丝合缝的变换过程，体现了数学在治愈强迫症方面的强大功效。But Wait……像黎曼这种数学大师的强迫症，远非你我可以揣测的。

他觉得变换后的图，好像是被人在s=1/2处砍了一刀，是不完整的。我们如果盯着s=±i这两条黄线看，变换后的形状是两段不完整的波浪形圆弧，如下图。

ζ函数的不完整性示意

5、数学红娘：解析延拓
是不是感觉心里空落（laò）落（laò）的？难道你不想把它补全成一个完整的花生壳吗？难道你不觉得它一定还有一个失散多年的另一半吗？

深度强迫症的黎曼实在看不下去，于是就做了一把数学界的月老，帮ζ函数找到了一个他认为完美的另一半。（请注意，以1/2为界的左右两边并不对称）

黎曼ζ函数：复数域解析拓延后的ζ函数

这种给单身函数介绍对象的过程就叫做延拓。注意，不是拖延症的拖延。

然鹅，介绍一个完美的对象并不是那么容易，稍不留神，就会碰见下图这种歪瓜裂枣的，而且这种歪瓜裂枣有无限种之多。

一种非解析延拓后的ζ函数示意

黎曼给单身函数介绍对象的方法是有唯一解的，用这个方法一定可以找到命中注定的那个唯一的另一半。真的有这么神奇？

黎曼的延拓方法叫做解析拓延，而且只有一个要求：拓延后的复变函数处处可导。按照这唯一的一条要求，就可以给单身的函数找到唯一完美对象。

如果说复数域求导不好理解的话，还有一种几何直觉的理解方法，几乎和处处可导是等价的，也称为解析拓延的保角性。那就是：

对于任意一对相交的直线a和b来说，之间的夹角∠ab在拓延前后仍然保持不变。

只有对交点导数原来为0的点例外，这些夹角在拖延之后的夹角乘整数倍。

这其实是一个非常强的约束条件，因为我们都能体会到，要满足“任意”二字需要多么任性才能做得到啊！

不信我们可以检查一下，相互垂直的实轴和虚轴们全都是垂直的，解析拓延后它们还是相互垂直的，如下图。

6、零点在哪里呀零点在哪里？
全体自然数之和等于-1/12的梗，其实也就是说，(-1,0)这个点，在ζ函数进行解析延拓的变换之后，会落在-1/12这个点上。

当然了，-1/12这句话本身除了学术装13之外，并没有太大意义。但是，如果我们把黎曼ζ函数像平时解一元二次方程那样对待时，会发现问题将变得非常难。

要解黎曼ζ方程，就意味着找到所有的s值，使得当s=?时，ζ(s)=0。

如果用可视化的方法表达，那就是：哪些点经过变换之后会落在原点上。

黎曼ζ函数零点的解们（ζ(s)=0）在哪里？

黎曼ζ函数ζ(s)=0的解有无穷多个，但大致可以分为两类。

一种比较有规律，全是负偶数。所以数学家一脸鄙视地给这些零点随手起了一个名字，叫平凡零点（trival zero）。

黎曼ζ函数的平凡零点

第二类比较棘手，很难找出什么规律。黎曼之前的数学家认为，这些解应该都落在实部0到1这一条解析延拓的临界带上。而黎曼认为这对数学来说太不精确了，太naïve了。

黎曼ζ函数全部非平凡零点所处的位置

他在一篇只有8页的论文里，轻描淡写地提出了一个小小的猜想：解析延拓后的黎曼ζ函数ζ(s)的非平凡零点，全部落在s=1/2这条直线上。

这就是伟大的黎曼猜想。

但说起来简单，做起来难。非平凡零点杂乱无章，其计算本身也非常难。黎曼本人也只算出来过个把而已。

1/2临界线穿越原点的轨迹图

一直到二战后，人工智能之父图灵利用自己发明的计算机，才计算出了1104个非平凡零点。

图灵所处的年代，数学界对黎曼猜想的态度是悲观，思路是证伪，即只要找到一个非平凡零点不在1/2直线上即可。

随着计算机技术的进步，2004年8月，已经算到了八千五百亿。然鹅，算得再多，对猜想的证明并没有太大用处。但至少现在很少有人想要证伪黎曼猜想了。

7、跟素数是怎么搞上的？
看到这里，可能有人很失望：“我XX的XX都X了，你就给我看这个？”

大侠请留步，最厉害的要来了！

只要能全找到黎曼ζ函数的非平凡零点，你就能找到所有素数！

But可能你就想弱弱的问一句：那么复杂的一个复变解析函数，到底是怎么跟素数分布扯上关系的？

答：通过欧拉乘积公式！欧拉乘积公式神奇地用全体自然数约束住了全体素数，抓住了素数分布这只神龙的尾巴。

这个公式的证明一页ppt就可以写得下，类似于数学归纳法的套路，是我们能力所及的。

乘积公式的证明过程

其实ζ函数在黎曼之前，叫做欧拉ζ函数。所以，ζ有分别用自然数和素数两种等效的表达方式：

ζ函数的两种等效表达：自然数vs素数

这下看清楚了吧。黎曼当年就认识到这个黎曼ζ函数和素数分布之间的关系。

你说得对，如果说黎曼是数学界的月老，那么欧拉就是数学界的王婆，把西门庆（ζ函数）和潘金莲（素数）撺掇到了一起。

黎曼那篇给全世界数学家套上紧箍咒的8页论文，题目就叫《论小于给定数的素数个数》。

只要有小于给定数的素数个数公式，就能知道某给定数本身是不是素数，这个函数一般写为π(x)。例如，π(20)代表小于20的素数个数，π(20)=8。

如果我们把π(x)函数画出来，是一个阶梯函数，什么时候π(x+Δx)-π(x)=1，上了一个台阶，那么这个x就是素数。

高斯和勒让德分别发现，素数在n处的分布密度近似符合自然对数的倒数，即ρ(n)≈1/ln(x)。

也就是说，在10000附近，素数大概会每隔ln(10000)=9.2个数字就出现一个。到1000000的时候，每隔ln(1000000)=13.8个数字才会出现一个。

小于给定数的素数个数

8、怎么又跟物理搞上了？
后来，数学家蒙哥马利在普林斯顿一次偶然的下午茶会上，偶遇了物理学家戴森，他们聊天时发现：

黎曼ζ函数在临界线上的非平凡零点的统计分布，居然可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。

从此，黎曼猜想又对应上了量子力学体系的能级谱，数学和物理来了一次重大联姻，这也是Atiyah爵士在2018年9月24日给出论证的主要思路。

至于Atiyah爵士到底说了些什么，我就把不长，只有5页的原文贴在最后，你自己看吧。我只是一个业余爱好者，该洗洗睡了。

来源：科技 日报， 二郎书院

注：文章内的所有配图皆为网络转载图片，侵权即删！

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