终于把统计学中的泊松分布搞懂了！

终于把统计学中的泊松分布搞懂了！

泊松分布是统计学和概率论中一种重要的离散概率分布，用于描述在单位时间或单位空间内某事件发生次数的概率。本文将从泊松分布的定义、性质、与其他分布的关系以及实际应用等方面进行详细讲解，帮助读者全面理解这一重要概念。

泊松分布的定义

如果随机变量 X 表示某单位时间或单位区域内事件发生的次数，并且满足以下条件：

1. 独立性：事件的发生是独立的，某一区域的发生不影响另一区域。
2. 稀疏性：在很短的时间间隔或很小的区域内，事件发生的概率很低。
3. 恒定速率：单位时间或单位区域内，事件发生的平均次数是恒定的。

那么，X 就服从泊松分布，其概率质量函数为

其中

• X 是随机变量，表示单位时间或空间内事件发生的次数。
• 是泊松分布的参数，表示单位时间或单位面积内事件发生的平均次数（即期望值）。
• e 是自然对数的底，约等于 2.71828。

泊松分布的性质

1. 泊松分布的期望和方差

• 期望（均值）
• 方差

这表明，泊松分布的均值和方差相等，这一特性在实际应用中具有重要意义。

2. 无记忆性

泊松过程具有无记忆性，即未来的事件发生与过去无关。

3. 加法性

若和，且和独立，则

泊松分布与其他分布的关系

二项分布的极限

当二项分布的试验次数 n 趋近于无穷大，而成功概率 p 趋近于零，且时

二项分布趋近于泊松分布。

公式表示为：

指数分布的事件间隔

如果事件间隔服从指数分布，且事件独立发生，那么在单位时间内事件的次数服从泊松分布。

泊松分布的应用

1. 电信领域：用于建模电话呼叫中心在单位时间内接到的呼叫数量。
2. 交通领域：描述某段道路在单位时间内发生交通事故的次数。
3. 生物统计：用于描述细胞分裂、基因突变或动物个体的分布情况。
4. 网络安全：评估网络攻击事件在单位时间内发生的次数。
5. 保险业：用于预测单位时间内的索赔次数。

案例分享

例1：呼叫中心电话到达

某呼叫中心平均每分钟接到 5 个电话。假设电话到达是独立的，求一分钟内接到7个电话的概率。

从题目描述可以得到

-

-

所以一分钟内接到7个电话的概率为

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

# 参数设定
lambda_ = 5 # 平均到达率 λ
k = 7 # 事件次数

# 计算泊松概率
prob = poisson.pmf(k, lambda_)
print(f'一分钟内接到{k}个电话的概率为: {prob:.4f}')

例2：交通事故

某城市平均每天有 2 起交通事故。求某一天无交通事故发生的概率。

从题目描述可以得到

-

-

所以某天无交通事故发生的概率为

# 参数设定
lambda_ = 2 # 平均事故发生率 λ
k = 0 # 事件次数

# 计算泊松概率
prob = poisson.pmf(k, lambda_)
print(f'某天无交通事故发生的概率为: {prob:.4f}')

例三：绘制泊松分布的概率质量函数

下面的代码将绘制不同 λ 值下的泊松分布 PMF 图像。

# 参数设定
lambda_values = [2, 5, 10] # 不同的 λ 值
k_max = 15 # k 的最大值

# 生成 k 值
k = np.arange(0, k_max + 1)

# 绘制不同 λ 值的泊松分布
plt.figure(figsize=(10, 6))
for lambda_ in lambda_values:
    pmf = poisson.pmf(k, lambda_)
    plt.plot(k, pmf, 'o-', label=f'λ = {lambda_}')

plt.title('泊松分布的概率质量函数 (PMF)')
plt.xlabel('事件发生次数 (k)')
plt.ylabel('概率 P(X = k)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

该图显示了 λ = 2、5、10 时泊松分布的 PMF。可以观察到，随着 λ 的增加，分布的形状由偏斜逐渐趋于对称。