二元函数偏导数详解：定义、计算方法与几何意义
二元函数偏导数详解：定义、计算方法与几何意义
二元函数的偏导数是多元函数微分学中的重要概念，它描述了函数在某一点沿不同方向的变化率。本文将详细介绍二元函数偏导数的定义、计算方法、几何意义以及高阶偏导数的概念，并通过具体实例帮助读者理解这一重要数学工具。
设二元函数f(x,y)=3x^2+6y^3+5xy+10x^3y^2+8
一阶偏导数的计算
对x求偏导：把x当做未知数，y当做常数，即得
fx=6x+5y+30x^2y^2对y求偏导：把y当做未知数，x当做常数，即得
fy=18y^2+5x+20x^3
偏导数不存在的情况
多元函数在某处沿某一方向不连续，则该处该方向上的偏导不存在；
多元函数在某处沿某一方向不光滑，则该处该方向上的偏导不存在；
多元函数在某处沿某一方向斜率不为∞，则该处沿该方向的偏导不存在。
高阶偏导数
如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
二元函数偏导数的定义
设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。
x方向的偏导：把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)。
y方向的偏导：把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。
偏导数的几何意义
偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。
如何求二元函数的偏导数
一般来说求偏导数可以对每种自变量的倒是单独来求,如果出现Fxy或者Fyx的情况,都是先对x求偏导数然后再将求过x导数之后的函数看作是y的函数再对y进行,反过来一样.
多元函数极值的判断条件
各个分量的偏导数为0，这是一个必要条件。充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的，那么这时不是极值点。
以二元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。,y。）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x。,y。）,fy(x。,y。）=0,令
fxx(x。,y。)=a,fxy=(x。,y。）=b,fyy=(x。,y。）=c
则f(x,y)在（x。,y。）处是否取得极值的条件是
（1）ac-bb0时有极值
（2）ac-bb0时没有极值
（3）ac-b*b=0时可能有极值，也有可能没有极值如果是n元函数需要用行列式表示。估计你也没学行列式呢。
如果是条件极值，那么更复杂一些。大一的时候数学分析讲的，网上不好找到教材，建议你看一下大学课本。
二元函数偏导数的计算方法
求偏导其实和一元函数求导是一样的，只需要把不含自变量的项都看做常数就可以了，
比如z=3x^2+2y+6x，对自变量x求偏导，z'(x)=6x+6
二元函数的偏导数个数
这是错误的。二元函数的偏导有无数个：
A、一阶偏导有两个：fx、fy；
B、二阶偏导有三个：fxx、fyy、fxy；
C、三阶偏导有四个：fxxx、fyyy、fxxy、fxyy；
......
设平面点集D包含于R^2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数。