三相LCL并网逆变器—数学模型
三相LCL并网逆变器—数学模型
本文详细介绍了三相LCL并网逆变器的数学模型，从abc坐标系、αβ坐标系到dq坐标系，层层递进，推导出完整的控制模型。对于从事新能源并网、电力系统控制等相关领域的技术人员具有较高的参考价值。
以两级式三相光伏并网逆变器系统为例，将重点介绍LCL并网逆变器的数学模型。拓扑结构如下图：
图中的PV是光伏模块，可以看成是直流电源，L、S、VD2这些器件构成了Boost电路，结合MPPT，实现光伏模块的最大功率输出，由于本文主要对LCL你逆变器进行建模，可将前面的电路等效为直流电压，C1为直流侧稳压电容，电压大小为Udc。这种假设不会对后续建模过程产生影响，读者大可放心。
数学模型的建立需要一定的假设，这次也不例外，电网电压一直处于平衡状态，忽略一些寄生参数，忽略电力电子器件的功率损耗。在平衡电网的基础上，会使得Uno’和Uno相等。
假设Sa、Sb、Sc为相应桥臂的开关函数，如下所示。Sk=1表示上桥臂导通,下桥臂关断 (k=a,b,c)
根据拓扑图和基尔霍夫定律，可以得到以下公式
在上述等式中，
表示滤波电容接地端o′点到直流母线负极n点的电压，
表示三相电网中性点o点到n点的电压，
是逆变器输出端到o′ 点的电压，
、
分别为逆变器输出端o点和到n点的电压，此外电网电压在三相平衡的状态下o
点和o′点之间为等电位。
根据基尔霍夫定律，这些公式可以比较简单的得出，但是有些地方我在学习的时候，有一些疑惑，在这里解释一下。关于中性点电压的问题，为什么公式4成立，或者说是怎么得出这个结论的。有这样一个公式，如下所示
是k点相对于n点的电压，这个点的电压和开关函数的关系还是比较明显的，上桥臂闭合，该点就是直流电源电压Udc，断开就是零电压。k=a、b、c。分别带入上式后相加，可得
这样是不是就和第四个公式对上了。还有一点就是，上面一大堆公式里面的
实际上，是相对于o点或者o′的电压。
，从这个公式也能看出来。
那么
和开关函数的关系就可以确定了，如下所示
abc坐标系下的数学模型
以逆变侧电流、滤波 电容电压和并网电流为状态变量，而可以得到三相静止abc坐标系下的状态方程，如下所示。
拉普拉斯变换，可得
通过公式(11)可得并网逆变器在三相静止abc坐标系下的数学模型框图，如图下所示。
根据上面的模型框图，实际上就已经可以进行控制系统的设计，但是虽然该数学模型简洁直观，在三相静止abc坐标系下，但是各控制变量是正弦交流量，会随着时间发生变化，且它们之间不相互独立，这给控制系统的设计增加了难度。因此通常在两相静止坐标系或两相旋转坐标系下进行分析。
αβ坐标系下的数学模型
三相静止abc坐标系与两相静止αβ坐标系的位置关系如图下图。a、b、c三相坐标轴相位依次差120°，使a轴与α轴重合，α轴滞后β轴90°。
由等幅变换原则可推出Clark变换表达式：
根据公式(10)和(12)得到逆变器在αβ坐标系下的状态方程：
按同样的方法，也可以得到对应的控制框图，如下所示。但是下图中的状态量也是交流量，同样不方便设计控制器。
dq坐标系下的数学模型
一般的控制在使用PI控制时，不能够很好的追踪交流信号，所以还需要进一步的坐标变换，使得坐标轴上的量变成直流量。两相静止αβ坐标系与同步旋转dq坐标系的位置关系如下图所示。 d轴滞后于q轴并与之垂直。
这种变换称为Park变换，其表达式如下
经过Park变换后，可以得到如下所示的公式
根据以上公式，可以得到对应的控制框图
从图中可以看出，这里面的量，是互相耦合的，在设计控制器的过程中需要解耦，这对于控制器的设计来说，也不是一件好事。
总结
虽然dq轴的数学模型比较复杂，而且控制起来也需要复杂的解耦，但是他却是一个恒定的量方便进行PI闭环。而且一般并网的控制策略，只需要对电流进行闭环控制，输出电压是跟随电网电压进行波动的。值得一提的时，电流的控制策略也有很多种，不一定需要在dq轴下面进行控制策略的设计，在αβ坐标系下也有相应的控制策略。
