用"夹逼定理"求数列极限，看这一个视频就够！|高数上
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夹逼定理是高等数学中求解数列极限的重要工具之一。它通过构造两个收敛到同一极限的数列，将目标数列"夹"在中间，从而确定目标数列的极限。本文将详细介绍夹逼定理的概念、放缩原则的训练，以及不同类型题目（n项和、n次方根、含阶乘等）的解题方法和具体例题解析。
夹逼定理概念
夹逼定理是极限存在准则之一。若数列{xₙ}、{yₙ}、{zₙ}满足下列条件：
1）从某一项起，即ョN，当n>N时，有yₙ ≤ xₙ ≤zₙ
2）lim n→∞ yₙ=a，lim n→∞ zₙ=a
则数列{xₙ}的极限存在，且lim n→∞ xₙ=a
必须是lim n→∞ yₙ=a，lim n→∞ zₙ=a
yₙ、zₙ极限存在且相等
ε、N语言
把xₙ夹进去
放缩·训练场
- 原则1：全军出击
全员放大缩小
n·最小数 ≤ n个数之和 ≤ n·最大数
最小数ⁿ ≤ n个正数乘积 ≤ 最大数n
- 原则2：放缩 / 略去局部
把其中一项增大或缩小
若干项求和，略去正项则缩小，略去负项则放大
略去<1的因子，乘积变大；略去>1的因子，乘积缩小
题型大总结
情形1：n项和
【例1】
无数个零相加不一定是零
把他们通分看成整体
放缩统一分母
- 让分母增大、再让分母减小（只动一个点）
求两个极限，无穷大比无穷大：抓大头
【例2】
先用求和符号整理通式
弄分母，求两次极限
【例3】
情形2：lim n→∞ ⁿ√🐷
【例4】
正数的n次方开n次方，极限是本身
lim n→∞ a开n方，极限是1，lim n→∞ ⁿ√n的多项式=1
鄙视链：对数<幂函数<指函数
放缩，全军出击
ⁿ√m可以单独提出来
另外的方法，最小值只保留最大值这一项
有限多项正数的n次方，开n次方根。极限是其中的最大值
【变式】
a⁻ⁿ = (a⁻¹)ⁿ
【例5】
每一项都≤1，那就集体放大到1
【例6】
分子分母都有乘积，略去>1和<1的因子
两侧极限都是1
情形3：含n!
【例7】
底函数、指函数：e^ln提上去
1 ≤ n! ≤ nⁿ
【例8】
放缩分子，n!/n!单独拿出来
分子放缩成2(n-1)! +n!
继续放大，略去负项
【小练习】
放缩分母
Σi=1/2(n²+n)
抓大头
Σi² =1/6n(n+1)(2n+1)