高等数学第12讲二重积分_概念性质_计算方法_重难点题型总结

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@小白创作中心

高等数学第12讲二重积分_概念性质_计算方法_重难点题型总结

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CSDN

https://blog.csdn.net/weixin_62613321/article/details/141155443

二重积分是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。本文将从概念、性质、对称性到计算方法，再到重难点题型总结，全面讲解二重积分的相关知识。

二重积分

文章目录

二重积分
1.概念，性质与对称性
1.1 概念
1.2 性质
1.3 对称性
1.3.1 普通对称性
1.3.2 轮换对称性
2.二重积分的计算
2.1 直角坐标系下交换积分次序
2.2 利用极坐标
2.3 利用对称性
2.4 平移法
2.5 利用形心公式(待整理)
3.重难点题型总结
3.1 极坐标系下交换积分次序
3.2 抽象函数的二重积分
3.3 二重积分比较大小
3.4 二重积分的极限问题
3.5 极坐标二重积分变为一重积分(一个容易忽略的点)
3.6【经典例题】极坐标计算二重积分的经典计算问题
3.6.1 二重积分直角坐标系转换为极坐标系
3.6.2 【易错多细节计算题】通过观察被积函数是极坐标类型，从而将直角坐标转换为极坐标的题目
3.7【经典例题】变上限的二重积分问题
3.8【经典例题&&计算细节易错题】做辅助线计算二重积分问题
3.9【经典例题】被积函数中含有绝对值的二重积分计算问题
3.10【经典例题】被积函数中是max{}的二重积分计算问题
3.11 二重积分与分段函数的小综合
3.12 被积函数形如sinx+cosy，且积分区域关于y=x对称，考虑轮换对称性
【二重积分做题思路大观】
看见积分区域
计算二重积分
二重积分的应用仅数学一学习

1.概念，性质与对称性

1.1 概念

几何意义:
二重积分是一个数，当其被积函数≥0时，其值等于以积分域D为底，以曲面z=f（x,y)为曲顶柱体的体积。

1.2 性质

补充性质：
若被积函数在积分区域上连续非负且不恒等于零，则相应的二重积分大于零。
性质一:可积函数必有界，当f(x,y)在有界闭区域上可积时，f(x,y)在D上必有界。
性质二:区域D的拆分，D可以拆分为D1+D2
性质三:内加绝对值≥外加绝对值
性质四:估值定理
设M和m分别是f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，A为D的面积，则有
$$
m A \leq \iint \limits_{D}^{}f\left(x,y\right)d\sigma \leq M A
$$
性质五:二重积分中值定理
设函数 f ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续， A 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 ( ξ , η ) ，使得
$$
\iint \limits_{D}^{}f\left(x,y\right)d\sigma = f\left(\xi ,\eta \right)A
$$

1.3 对称性

对称性分为普通对称性和轮换对称性

1.3.1 普通对称性

核心:
普通对称性，既看积分区域，又看被积函数
首先，积分区域得关于y轴或者x轴对称
其次，被积函数要满足奇偶
核心口诀:偶倍奇0
积分区域D关于y轴对称
f(-x,y)=f(x,y)为偶，原先的积分区域为D，改为2D1
f(x,y)=-f(-x,y)为奇，直接=0
积分区域关于x轴对称
f(x,-y)=f(x,y)为偶，原先的积分区域为D，改为2D1
f(x,y)=-f(x,-y)为奇，直接=0
关于y=x对称，也要考虑到，若还满足轮换对称性，那就是2倍的y=x轴任取一半积分区域的二重积分

1.3.2 轮换对称性

核心:
轮换对称性，只看积分区域，积分区域满足y=x对称(通俗讲就是，x换成y，y换成x，积分区域不变，就存在以下结论。
$$
\iint \limits_{D1}^{}f\left(x,y\right)dxdy = \iint \limits_{D2}^{}f\left(y,x\right)dxdy = \frac{1}{2}\iint \limits_{D}^{}\left[f\left(x,y\right) + f\left(y,x\right)\right]dxdy
$$
注意上面的积分区域：D1,D2,D,不要混淆
再次提醒，轮换对称性不需看被积函数，即f(x,y)和f(y,x)不必相等，若相等就会得到普通对称性的结论，即f(x,y)=f(y,x)，关于y=x轴对称的积分区域取一半求2倍就行。
如下图所示：关于积分区域D1和D2关于y=x对称，有如下结论：

2.二重积分的计算

2.1 直角坐标系下交换积分次序

x型区域，先y后x，即先（）dy，此时的积分上下限用x表示，然后再dx
y型区域，先x后y，即先（）dx，此时的积分上下限用y表示，然后再dy

2.2 利用极坐标

什么时候用极坐标很关键？
适合用极坐标计算的二重积分的特征:
被极函数特征 : $f (\sqrt[]{x^{2} + y^{2}})f (\frac{y}{x}),f (\frac{x}{y})$
积分区域特征 : $x^{2} + y^{2} \leq R^{2}$（圆） ,$x^{2} + y^{2} \leq 2ax$（椭圆）