信息安全数学基础：多项式环详解

信息安全数学基础：多项式环详解

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/m0_73399576/article/details/143665310

一、定义

设R是一个环，一个环R上的多项式环是由系数在R中的多项式构成的环，其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义。具体来说，若R是有单位元的交换环，x是一个文字（或称为不定元），则形如a0+a1x+a2x^2+...+anxn的和式（其中an≠0，n为非负整数，且只有有限多个ai不为0）称为环R上的多项式，简称x的多项式。这里的ai（i=0,1,...,n）都是R中的元素，称为多项式的系数。

二、性质

1. 加法与乘法：两个多项式相加，即对应系数相加；两个多项式相乘，则按照分配律和结合律进行运算。这样定义的多项式加法和乘法满足环的运算规律，因此构成一个环。

2. 整环性质：若R是整环（即含单位元、无零因子的交换环），则R上的多项式环R[x]也是整环。

3. 唯一分解环性质：若R是唯一分解环（即整环中每个非零非可逆元素都能唯一分解），则R上的多项式环R[x]也是唯一分解环。

4. 诺特环性质：根据希尔伯特基定理，若R是诺特环（即满足升链条件或降链条件的环），则R上的多项式环R[x]也是诺特环。

三、特殊多项式

1. 零多项式：若多项式f(x)的每一个系数都为0，则称为零多项式，记作0。

2. 本原多项式：设D是一个唯一分解整环（UFD），f(x)是D[x]中一个次数≥1的多项式。若f(x)的系数的最大公因子是D中的单位，则称f(x)是一个本原多项式。

四、应用

多项式环在代数几何、代数数论、代数编码等领域有广泛应用。例如，在代数几何中，多项式环的商环可以用来构造代数曲线和代数簇；在代数数论中，多项式环的理想与素理想可以用来研究代数数的性质；在代数编码中，多项式环的有限域可以用来构造密码算法。

五、示例

1. 整数环上的多项式环：记作Z[x]，其中Z表示整数环。Z[x]中的元素是形如a0+a1x+a2x^2+...+anxn的多项式，其中ai（i=0,1,...,n）都是整数。

2. 实数环上的多项式环：记作R[x]，其中R表示实数环。R[x]中的元素是形如a0+a1x+a2x^2+...+anxn的多项式，其中ai（i=0,1,...,n）都是实数。