冲激函数的性质及其在信号处理中的应用

冲激函数的性质及其在信号处理中的应用

冲激函数（狄拉克δ函数）是信号处理和系统分析中的重要工具，其独特的性质使其在处理线性时不变系统和卷积运算时发挥着关键作用。本文将详细介绍冲激函数的主要性质及其在信号处理中的应用。

冲激函数的基本性质

筛选特性（Sifting Property）

冲激函数的筛选特性是指它与任何函数 f(t)相乘后在整个实数域上的积分等于该函数在冲激函数非零点（即 t=0）的值。数学表达式为：

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(t\right)\delta \left(t-a\right)\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}dt=f\left(a\right)$

如果 f(t) 在 t=a 处连续，则该性质成立。

加权特性（Weighting Property）

冲激函数可以被加权，如果信号f(t)是在$t={t}_{0}$处连续的普通函数，则：

$f\left(t\right)\delta \left(t-{t}_{0}\right)=f\left({t}_{0}\right)\delta \left(t-{t}_{0}\right)$

这意味着冲激函数的加权特性允许我们通过乘以一个常数来调整其“强度”。

奇偶性（Odd and Even Property）

冲激函数本身是一个奇函数，这意味着：

$\delta \left(-t\right)=-\delta \left(t\right)$

然而，这个性质在实际应用中较少使用，因为冲激函数通常不以传统意义上的奇函数或偶函数来处理。

尺度变换（Scaling Property）

冲激函数的尺度变换性质涉及到时间尺度的变化。如果将冲激函数的时间变量 t 替换为 at（其中 a 是一个非零常数），则冲激函数的“宽度”会按 |a| 的倒数变化，以保持其积分不变。数学表达式为：

$\delta \left(at\right)=\frac{1}{|a|}\delta \left(t\right)$

与阶跃信号的关系（Relationship with Step Function）

冲激函数与阶跃函数（Heaviside step function，记作 u(t)）有密切的关系。阶跃函数定义为：

$u\left(t\right)=\left\{\begin{array}{ll}0& \text{if}t<0\\ 1& \text{if}t\ge 0\end{array}$

冲激函数可以看作是阶跃函数的导数，即：

$\delta \left(t\right)=\frac{d}{dt}u\left(t\right)$

这意味着冲激函数在 t=0 处有一个无限大的“峰值”，而阶跃函数在 t=0处从0跳变到1。

这些性质使得冲激函数成为信号处理和系统分析中的强大工具，尤其是在处理线性时不变系统和卷积运算时。

冲激函数的卷积

含有冲激函数的卷积是一个重要的概念，因为它可以简化许多信号处理和系统分析的问题。卷积是两个函数 f(t) 和 g(t) 的一种数学运算，定义为：

$\left(f\ast g\right)\left(t\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(\tau \right)g\left(t-\tau \right)\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}d\tau$

当其中一个函数是冲激函数 $\delta \left(t\right)$ 时，卷积的计算会变得非常简单。这是因为冲激函数的筛选性质。具体来说，如果 $g\left(t\right)=\delta \left(t\right)$ ，那么卷积变为：

$\left(f\ast \delta \right)\left(t\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(\tau \right)\delta \left(t-\tau \right)\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}d\tau =f\left(t\right)$

这表明任何函数与冲激函数的卷积就是该函数本身。这个性质在信号处理中非常有用，因为冲激函数可以看作是一个“单位”信号，它对系统的影响是直接的，没有改变。

如果冲激函数被移动到 ${t}_{0}$ 时刻，即 $g\left(t\right)=\delta \left(t-{t}_{0}\right)$ ，那么卷积变为：

$\left(f\ast \delta \left(t-{t}_{0}\right)\right)\left(t\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(\tau \right)\delta \left(t-\tau -{t}_{0}\right)\phantom{\rule{0.167em}{0ex}}d\tau =f\left(t-{t}_{0}\right)$

这表明任何函数与移动的冲激函数的卷积是该函数的移动版本。这个性质在分析系统的时移特性时非常有用。

总结来说，含有冲激函数的卷积利用了冲激函数的筛选性质，可以简化许多信号处理和系统分析的问题。