构建公理体系，培养几何思维

构建公理体系，培养几何思维

几何学不仅是研究空间形状和大小的科学，更是一种培养清晰思维和精确表达的重要工具。从古埃及的土地测量到欧几里得的《几何原本》，再到现代几何学的多个分支，几何学的发展历程展现了人类对空间认知的不断深化。本文将带领读者探索几何学的起源、发展及其核心原理，特别是欧氏几何的公理体系，帮助读者建立坚实的几何思维基础。

何为几何？

几何，即：丈量世界，它包罗万象，解释世间万物运行机制。

几何学的起源

在原始社会里，人类在生产和生活中，积累了许多有关物体的形状、大小和相互之间的位置关系的知识。随着人类社会的不断发展，人们对物体的形状、大小和相互之间的位置关系的认识愈来愈丰富，逐渐地积累起较丰富的几何学知识。

几何学的雏形

相传于四千年前，埃及的尼罗河每年洪水泛滥，总是把两岸的土地淹没，水退后，使土地的界线不分明。当时埃及的劳动人民为了重新测出被洪水淹没的土地的地界，每年总要进行土地测量，因此，积累了许多测量土地方面的知识，从而形成初步的几何学。

几何学的完善

希腊人由于跟埃及人通商，从埃及学到了测量与绘画等的几何初步知识。希腊人在这些几何初步知识的基础上，逐步充实并提高成为一门完整的几何学。

欧氏几何的诞生

公元前338年，希腊人欧几里得，把在他以前的埃及和希腊人的几何学知识加以系统的总结和整理，写了一本书，书名叫做《几何原本》，现今我们学习的几何学课本多是以《几何原本》为依据编写的，也被称为“欧氏几何”。

几何问题代数化

一千年后，笛卡儿在《方法论》的附录《几何》中，将坐标引入几何，将几何学带来革命性进步。从此几何问题能以代数的形式来表达。

现代几何学

目前，几何学有很多分支：欧氏几何、非欧几何、罗氏几何、黎曼几何，拓扑学...

欧氏几何——《几何原本》

《几何原本》总结了前人的几何知识和研究成果，用公理法建立起演绎的数学体系的最早典范，标志着几何知识从零散、片段的经验形态转变为完整的逻辑体系，深刻影响到后世数学的发展，采用的演绎结构被移植到其它学科后也同样促进了这些学科的发展。

公理化思想

简介

公理化方法是指在一个数学理论体系中，尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的规则，把该理论体系建立成一个演绎系统，这种思想被称为公理化思想。

体系建立的方法

用公理化方法建立的数学学科体系一般是由以下四个部分组成：

1. 初始概念的列举
2. 定义的叙述
3. 公理的列举
4. 定理叙述和证明

什么是公理？

百科上这样说：
公理是一个汉语词汇，读音为gōng lǐ，是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。

皮皮龙这样说：
公理是人类主观意识中认为显然成立的一个事实，类似一种规则，不分对错，可修改，修改之后会形成新的体系。
比如说：
宇宙是连续的，如果被证伪，那么目前所学理论将被推翻，会形成新的理论。
再比如说：
欧几里得平行公理被修改，形成非欧几何。

《几何原本》的逻辑

《几何原本》即从少数几个公理出发，由简到繁地推演出460多个命题，建立起人类史上第一个完整的公理演绎体系。欧几里得在《几何原本》中首先提出5条公理和5条公设：

五条公理：

1. 等于同量的量彼此相等。
2. 等量加等量，其和仍相等。
3. 等量减等量，其差仍相等。
4. 彼此能够重合的物体是全等的。
5. 整体大于部分。

五条公设：

1. 过两点可以作一条直线。
2. 直线可以向两端无限延伸。
3. 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。
4. 凡直角都相等。
5. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

公理VS公设

1. 适用范围不同：

• 公理是适用于一切科学的真理，具有更广泛的适用性；
• 公设则主要在几何学中使用，是几何学中的基本原理，适用于几何学。

2. 自明性和逻辑性不同：

• 公理通常被认为是不证自明、表象直观的。例如“等量加等量，其和仍等”；
• 公设是在逻辑体系的开端，难以被证明或推翻。例如“两点可以决定一条直线”。

在不至于混淆的情况下，有时也将几何中的公设称为几何公理。

非欧几何的产生

在欧几里得的五个公设理中，他没有幼稚地假定定义的存在和彼此相容。

提出问题：
亚里士多德指出：
前三个公设说的是可以构造线和圆，是对两件东西存在性的声明。
第五个公设非常啰嗦，没有前四个简洁好懂，声明的也不是存在的东西，而是欧几里德自己想的东西。

演绎推理：
后来，数学家注意到，与前四条公设相比，第五公设的性质显得太复杂，更像一条定理而不是公设。因此人们开始怀疑第五公设作为公理的地位，并探索用其它公理来证明它，从而使之变成为一条定理。其中包括许多知名的数学家。虽然，所有这一切几乎都失败了，但是，由于数学家们对欧几里得第五公设的怀疑、探索，并在这些失败教训中，引出了许多与欧几里得几何不同的几何，诞生了一种崭新的几何学体系——非欧几何学。

新体系诞生：
1899年，希尔伯特在他的《几何基础》一书中，成功地建立了欧几里几何的完整的公理体系。它由五组公理组成：关联公理、顺序公理、合同公理、连续公理、欧几里得平行公理。

如果去掉欧几里得平行公理，则以前四组公理为基础建立起来的几何称为绝对几何。

如果用罗巴切夫斯基平行公理取代欧几里得平行公理，而前四组公理不变，则以此为基础建立起来的几何便是罗巴切夫斯基几何。

因此，绝对几何是欧几里得几何和罗巴切夫斯基几何的公共部分。

立体几何“四公理、三推论”

公理1

• 文字描述： 经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
• 图形表示：
• 数学语言：
• 用途： 确定平面的依据。

公理2

• 文字描述： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
• 图形表示：
• 数学语言：
• 用途： 判断线在面内，体现平面的“平”和“无限延展”。

公理3

• 文字描述： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条经过该点的公共直线 。
• 图形表示：
• 数学语言：
• 用途： 用于证明三点共线，三线共点，体现平面的“平”和“无限延展”。

公理4

• 文字描述： 平行于同一条直线的两条直线相互平行。
• 图形表示：
• 数学语言：
• 用途： 平行线的空间传递性，用于证明线线平行。

三推论

1. 推论1

• 内容： 经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。
• 图示及证明：

2. 推论2

• 内容： 经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
• 图示及证明：

3. 推论3

• 内容： 经过两条平行线，有且仅有一个平面。
• 图示及证明：