蒙提霍尔问题：一个经典的概率论谜题
蒙提霍尔问题：一个经典的概率论谜题
蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）源自美国电视游戏节目《Let's Make a Deal》，以主持人蒙提·霍尔的名字命名，也被称为“三门问题”或“山羊汽车问题”。
问题描述
假设你正在参加一个游戏节目，面前有三扇关闭的门：一扇门后面是一辆汽车，另外两扇门后面各是一只山羊。你选择一扇门，比如1号门。主持人知道每扇门后面是什么，他打开另外两扇门中的一扇，露出一只山羊，比如3号门。然后他问你：“你想改选2号门吗？”改变选择对你有利吗？
答案解析
应该换门，因为不换门获得汽车的概率是1/3，而换门后获得汽车的概率是2/3。
证明过程
让我们通过穷举法来证明这个结论：
- 参赛者挑中汽车，主持人挑两头羊的任何一头。此时换门将失败。
- 参赛者挑中A羊，主持人挑B羊。此时换门将赢得汽车。
- 参赛者挑中B羊，主持人挑A羊。此时换门也将赢得汽车。
因此，选择换门获得汽车的概率是2/3，不换门获得汽车的概率是1/3。
另一种简单的解释是：最初选择的门后是汽车的概率为1/3，那么在剩下的两个门中，有汽车的概率是2/3。在剩下的两个门中，排除掉一个门后，剩下的那个门后为汽车的概率依旧是2/3，所以应该换门。
直觉误区
很多人第一次遇到这个问题时，直觉上会认为汽车在剩下的两个门后面的概率均为1/2，因此认为换与不换没有区别。这种直觉上的错误可以通过对比“三囚问题”来理解。
三囚问题
在一个国家的大理寺诏狱中，有甲、乙、丙三个政治犯死囚。新任皇帝决定在亲政之日特赦其中一位囚犯作为庆祝，但要在同日将另两位斩首，以正国法。皇帝抽签选出那位幸运的囚犯之后，签署了特赦令，告诉大理正卿，哪两位囚犯将要被处决，哪一位囚犯将要被赦免。但皇帝特别要求正卿，不可让死囚知晓自己即将被处死或被特赦，以免影响囚情。
甲听闻了皇帝即将赦免三人中的一人，赶紧私下向正卿询问自己未来的情况，正卿却答：“奉上谕，我不能让你知道，你会被赦免或者处决。所以我只告诉你，另外两人之中，其中一人会遭处决。”
甲听后非常高兴，认为现在只有自己跟乙或丙其中一人可能会被赦免，所以自己有五成的机会被赦免。甲高兴地一五一十地告诉了大理评事，评事却说：“不对，你只有三分之一的机会。”究竟何者为真呢？
问题解析
“三门问题”其实跟“三囚问题”道理是一样的。“三个死囚”就是“三扇门”，“特赦令”就是“车”，“被斩首”就是“羊”。因为特赦令是在三个死囚中产生的，所以每个死囚获得特赦令的概率各是1/3。之所以甲认为其获得特赦的概率是1/2，因为他认为特赦令是在排除乙丙某人后，再由皇帝选择二者其中一人特赦。但事实并非如此，皇帝是在三人中选一人，而非两人中选一人特赦。
参考文献
- Monty Hall problem - wikipedia