机器人动力学基础：牛顿欧拉公式的详细推导
机器人动力学基础：牛顿欧拉公式的详细推导
刚体动力学是机器人学中的核心理论之一，其中牛顿欧拉公式是描述刚体运动和受力关系的重要工具。本文将从基础概念出发，逐步推导牛顿欧拉公式，帮助读者深入理解这一理论框架。
我们先了解一下刚体的牛顿方程，在图4.1.1中刚体以加速度
运动，那么就可以用牛顿公式得到
(4-1-1)
图4.1.1 作用于质心力
引起加速度
同样，刚体旋转时候的欧拉方程，在图4.1.2中，刚体以角速度和角加速度分别为
,
旋转时
(4-1-2)
图4.1.2 作用于刚体的力矩
、角速度、角加速度
其中
为刚体在C中的惯性张量
(一)、线速度、线加速度公式推导。
图4.1.3 位姿转换
在前面的章节中，我们根据图4.1.3中，可以轻易的得到下面的关系表达式：
(4-1-3)
那么，如果坐标系
整体移动，不考虑
向量的移动跟自身坐标系
的转动的话，那么有
(4-1-4)
此时加上坐标系
的中的
的移动，同时再加上坐标系
的旋转，那么速度公式有如下
(4-1-5)
其中
表示为，点Q相对于坐标系A在描述坐标系A下的速度，
是坐标系B自身的旋转轴。
将上述公式(4-1-5)等式两边进行求导，根据公式(1-2-18)我们就可以得到加速度公式：
(4-1-6)
通过类比的方法将该公式用于连杆之间的线加速度表达：
（4-1-7）
式中：0表示世界坐标系。
等式两边左乘
，得到
（4-1-8）
等式两边再次左乘
，得到
（4-1-9）
式中：
:连杆
相对于世界坐标系
的角速度在
上的描述或连杆坐标系
相对于世界坐标系
的角速度在
上的描述。
:连杆i相对于世界坐标系
的角加速度在
上的描述或连杆坐标系
相对于世界坐标系
的角加速度在
上的描述
:连杆坐标系
相对于世界坐标系的线加速度在
上的描述
:坐标系
相对于坐标系
的位置在
上的描述
a). 当关节为旋转时，
,则线加速度为：
（4-1-10）
b). 当关节为移动时：
, 其中
表示连杆i+1相对于坐标系{i+1}在坐标系{i}中的描述。
则线加速度为：
(4-1-11)
对于质心处的线加速度：
图4.1.4 质心处矢量
如图所示，质心处的矢量：
(4-1-12)
将该公式两边对时间t求导，得：
(4-1-13)
再一次对时间t求导，得：
(4-1-14)
由于ci相对于坐标系{i}的位置是固定的，所以
则公式可以化简为：
(4-1-15)
两边同时左乘
，得到：
(4-1-16)
（三）、角速度、角加速度
将角速度公式
进行变换，将该公式用于连杆之间的角速度表达为
（4-1-17）
等式两边左乘
，得到
（4-1-18）
等式两边再次左乘
，得到
（4-1-19）
a). 当关节为旋转时，
则，角速度为：
（4-1-20）
b). 当关节为移动时，
则，角速度为
（4-1-21）
将角加速度公式
进行变换, 将该公式用于连杆之间的角加速度表达为
（4-1-22）
等式两边左乘
，得到
（4-1-23）
等式两边再次左乘
，得到
（4-1-24）
a). 当关节为旋转时，
则，角加速度为：
（4-1-25）
b). 当关节为移动时，
则，角加速度为：
（4-1-26）
至此我们推导的线速度、线加速度、角速度、角加速度公式基本完成，利用上述公式我们进而推导连杆质心处力与力矩
（四）质心处力与力矩：
（4-1-27）
（4-1-28）
（五）力和力矩向内迭代：
在无重力状态下，由图4.1.5列出力和力矩的平衡方程。每个连杆都受到相邻连杆的作用力和力矩以及附加的惯性力和力矩。下面我们定义一些符号来表示力和力矩：
=连杆i-1与连杆i之间的作用力作用在
上，在坐标系
中的描述
=连杆i-1与连杆i之间的力矩作用在
上，在坐标系
中的描述
图4.1.5 对于单个操作臂连杆的力平衡
质心处力分析：
将所有作用在连杆上的力和力矩分别相加，得到力和力矩的平衡公式：
（4-1-29）
（4-1-30）
利用上面两个式子以及旋转矩阵，可以写成：
（4-1-31）
至此，牛顿欧拉公式的推导完成，我们会发现书上的牛顿欧拉公式和我们所推导的完全相同，只是看起来是有点不大一样，是因为书上的公式的内容，部分地方都被省略，或者说公式的某些个符号在读者看来不是特别好理解，所以才会读起来比较难。比如说，书中的牛顿欧拉公式中的符号，少了相对坐标系，全都省略了，但是这样对于初学者来说，是有点疑惑的，例如他们看到这个
，就会感觉到奇怪，他们会将这个角速度看成i+1连杆相对于i+1的连杆角速度，就会有这样的疑惑，所以才会这地方学起来会有点困难。而我们所有的符号公式，都是基于最开始的两个基本坐标系之间的位置变换推导出来的，这样，我们写起来也有底，具体用哪个公式，具体哪个符号表示什么含义，我们都一清二楚。其实这样推导下来，我们也知道了书中的公式及符号意义，最后回归于书本，也是没有问题的。