从第五公理开始：庞加莱几何的探索之旅
从第五公理开始：庞加莱几何的探索之旅
庞加莱几何是双曲几何的一种特殊形式，以其独特的公理体系和几何模型在数学领域占据重要地位。本文将从第五公理出发，深入探讨庞加莱几何的基本概念、平行假设、距离和角度的定义，以及椭圆几何和庞加莱圆盘模型等核心内容。
一、说明
庞加莱几何虽然也是双曲几何，但是有一些公理是独特的。本篇将开始梳理庞加莱几何的公理体系，将隐含的定理和属性挖掘出来。
二、平行假设
欧几里得《几何原本》中的第五条公设可以改写为：
【给定一条线和不在其上的点，可以通过该点绘制一条与给定线平行的线。】
该假设在 3D 中并不成立，但在 2D 中似乎是一个有效的陈述。然而，考虑到假设的重要性，看似有效的陈述还不够好。
假设（或公理）是充当理论起点的陈述。由于假设是一个起点，因此无法使用先前的结果来证明。作为一个无法被证明的陈述，公设应该是不言而喻的。欧几里得几何原理建立在五个公设之上。 2000 多年来，第五条公设一直被认为不如其他公设直观，而且不够不证自明。人们已经进行了许多尝试来使用其他四个公设来证明第五个公设。所有这些尝试都失败了。十九世纪的研究表明，第五条公设独立于其他公设。建立第五条公设不成立的几何理论是可能的。这种几何形状称为非欧几里得几何形状。此外，可以证明非欧几里德理论可以与欧几里德理论一样一致。如果一个理论不包含任何矛盾，那么它就是一致的。
如上所述，与平行假设相反的说法是，要么没有线，要么至少有两条线“与通过该点的给定线平行”。可以证明，如果至少有两条线，则实际上有无限多条“平行于……”的线。
如果将平行公设替换为：
【1】给定一条线和不在其上的点，无法通过该点绘制与给定线平行的线。
【2】给定一条线和不在其上的点，可以通过该点绘制无限多条与给定线平行的线。
三、距离、角度和直线
《欧几里得几何原本》中的定理建立在许多假设和许多定义的基础上。定义 23 指出两条线如果不相交则平行。定义中没有任何内容表明两条平行线之间的距离在任何地方都相同。仅当您假设平行线看起来像铁轨时，平行假设才显得显而易见。如果您重新定义一条线的含义，则可能会发现两条平行线要么彼此汇聚，要么彼此发散。
在非欧几里得几何中，与直线相对应的概念是称为测地线的曲线。在非欧几里德几何中，两点之间的最短路径是沿着这样的测地线或“非欧几里德线”。
当您重新表述平行公设时，欧几里得几何中使用第五公设的所有定理都将发生变化。举个例子;在欧几里得几何中，三角形的内角和是180°，在非欧几里得几何中，情况并非如此。
四、椭圆几何模型
椭圆几何建模的一种简单方法是考虑球体表面的几何形状。球体上两点之间的最短路径沿着所谓的大圆。大圆是与球体具有相同半径和相同中心的圆。大圆是测地线。
如果球体上的两点直接相对（如北极和南极），则两点之间有无数条最短路径。如果这些点不是对极点，则只有一条最短路径。
两个不相同的大圆必定相交。因此，球体表面不存在平行线。
三角形由三个顶点和沿着大圆穿过每对顶点的三段弧定义。
三角形顶点处的内角可以在通过该顶点的切平面上测量。椭圆三角形的内角和始终 > 180°。
五、使用庞加莱圆盘模型的双曲几何
庞加莱圆盘（二维）是一个开圆盘，即由圆包围但不包含圆的一组点。使用庞加莱圆盘模型时，仅考虑庞加莱圆盘中的点。庞加莱圆盘构成了整个世界。开圆盘的边界是无穷远的圆，C ∞ C_∞C∞ 。
通过 A 和B点 的测地线 定义为通过 A 和B的圆弧垂直于C ∞ C_∞C∞ 。如果A 和B 位于直径C ∞ C_∞C∞ 上，该直径是通过 A和B 的测地线 。
每个测地线由两个点定义。给定一条白色测地线和一个不在其上的白点，则有无限多个测地线通过不与白色测地线相交的白点。
三角形的内角是在相应的切线之间测量的。内角之和始终小于 180°。如果三角形的顶点向圆C∞移动，角度和趋于0。位于C∞的点 称为理想点。顶点趋于无穷大时的极限三角形 (C∞) 称为理想三角形。理想三角形的角和为 0。由于理想三角形的顶点位于无穷远处，因此理想三角形的周长是无穷大。进一步可以证明，理想三角形的面积为π。因此，最上面动画中的所有三角形都具有相同的双曲面积。
使用庞加莱半平面模型的双曲几何
一条线将平面分成两半。使用庞加莱半平面模型时，仅考虑半个平面（不包括直线）中的点。
通过 A 和B点的测地线 定义为通过 A和B 的圆弧 即垂直于边界线。如果A 和B位于垂直于边界的直线上，从交点（不包括该点）穿过 A 和B的射线是测地线。