定积分在物理上的应用举例
定积分在物理上的应用举例
定积分在物理上的应用相当广泛，如求具有均匀质量分布的平面曲线和平面图形的重心，变速直线运动物体在某时间区间内经过的距离，物体的转动惯量和变力做功等。下面通过实例加以说明。
本节仅介绍应用定积分来计算变力做功和水压力。
变力沿直线所作的功
例1 设 $40\text{N}$ 的力使弹簧从自然长度 $10\text{cm}$ 拉长成 $15\text{cm}$，问需要作多大的功才能克服弹性恢复力，将伸长的弹簧从 $15\text{cm}$ 处再拉长 $3\text{cm}$？
解 取弹簧的平衡点作为原点建立坐标系，如图 3-51 所示。
由物理学知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力 $F(x)$ 与伸长量 $x$ 成正比，即 $F(x)=kx$，其中 $k$ 为比例系数。当弹簧从 $10\text{cm}$ 拉长到 $15\text{cm}$ 时，它伸长量为 $5\text{cm} = 0.05\text{m}$。
变力沿直线所作的功
例2 设 $40\text{N}$ 的力使弹簧从自然长度 $10\text{cm}$ 拉长成 $15\text{cm}$，问需要作多大的功才能克服弹性恢复力，将伸长的弹簧从 $15\text{cm}$ 处再拉长 $3\text{cm}$？
解： 因有 $F(0.05)=40$，即 $0.05k=40$，故得 $k=800\text{N}/\text{m}$。于是可写出 $F(x)=800x$。弹簧从 $15\text{cm}$ 拉长到 $18\text{cm}$ 厘米，即变化区间为 $[0.05,0.08]$。
由于拉力随着伸长量的变化而不断变化，所以拉力所做的功不能直接用“力 ×位移”来计算。也就是说，压力在区间上分布是不均匀的。把伸缩区间进行分割 分割成许多小区间。由于小区间上点的距离非常近，我们认为在每个小区间上的 弹簧拉力近似相等，就可以用恒力做功的计算公式算出拉力对在每个小区上所 做功的近似值。并且拉力所做功关于区间具有可加性，因此拉力所做的功可以 用定积分来计算，就得到整个区间上拉力所做的功。
变力沿直线所作的功
例3 设 $40\text{N}$ 的力使弹簧从自然长度 $10\text{cm}$ 拉长成 $15\text{cm}$，问需要作多大的功才能克服弹性恢复力，将伸长的弹簧从 $15\text{cm}$ 处再拉长 $3\text{cm}$？
在积分区间 $[0.05,0.08]$ 中任取 $x$，做微元区间 $[x,x+\Delta x]$，在微元区间上拉力 所作的功即为功的微元
$\mathrm{d}W=F(x)\mathrm{d}x=800x\text{d}x，$
于是拉力使弹簧拉长 $3\text{cm}=0.03\text{m}$ 所做的功为
$W=\int_{0.05}^{0.08}800xdx=400{x}^{2}|_{0.05}^{0.08}=400(0.064-0.025)=1.56\text{J}$
例4 设有一直径为 $20\text{m}$ 的半球形水池，池内欦满水， 若要把水抽尽，问至少作多少功。
解 如图 3-52 建立直角坐标系，池壁与 面的交线为半圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}=100(x\ge 0)$，选取 $x$ 为积分变量， $x\in [0,10]$ 区间，与微元区间 $[x,x+\mathrm{d}x]$ 对应的是厚度为 $\mathrm{d}x$ 的一层水，微元 上的这层水的体积
$\Delta V\approx \pi {y}^{2}\Delta x=\pi (100-{x}^{2})\Delta x({m}^{3})，$
其所受的重力为 $\mathrm{d}F\approx \rho g\text{}\mathrm{d}V=g\pi \rho x(100-{x}^{2})\mathrm{d}x(kN)。$
把这层水抽出，至少需要提升 $x(m)$ 距离。 故需作的功为
$\Delta W\approx g\rho \pi (100-{x}^{2})\Delta x\cdot x=g\pi \rho x(100-{x}^{2})\Delta x\text{}J，$
其中 $\rho =1000\text{kg}/{\text{m}}^{3}$ 是水的密度， $g=9.8/{\text{s}}^{2}$ 是重力加速度。 故作功微元
$\mathrm{d}W=g\pi \rho x(100-{x}^{2})\mathrm{d}x。$
所求功为
$\begin{array}{rl}W& =\int_{0}^{10}g\pi \rho x(100-{x}^{2})\mathrm{d}x=g\pi \rho \int_{0}^{10}x(100-{x}^{2})\mathrm{d}x=g\frac{\pi \rho }{4}×{10}^{4}\ & =2500\pi \rho g\approx 7.693×{10}^{7}(J)。\end{array}$
水压力
从物理学知识可以知道，在水深为 $h$ 处的压强为 $p=vh$ ($v$ 是水的比重)。 如 果有一面积为 $A$ 的平板水平地放置在水深为 $h$ 处，则平板一侧所受的水压力为 $F=pA$。 如果平板垂直地放置在水中，则由于水深不同的点的压强不同，则计算 平板的水压力需要使用定积分。
例5 一个三角形薄板铅直地沉浸在水中，底在上且与水面相接，底边长为 $a$， 高为 $h$，求薄板每侧所受的压力 (设水的比重为 $v$)。
解 建立坐标系如图 3-53 所示，则三角形的
一条腰边的方程为 $\frac{2y}{a}=\frac{h-x}{h}$，即 $y=\frac{a}{2h}(h-x)$。
因为压强与水深成正比，同一深度的压强是 相同的，于是将闸门水平分割成小横条，取积分 变量为 $x，x\in [0,h]$，任取 $[x,x+dx]\subset [0,h]$，闸门 上有高为 $\mathrm{d}x$ 的小条，其面积为
$2y\text{}dx=a(1-\frac{x}{h})dx，$
例6 一个三角形薄板铅直地沉浸在水中，底在上且与水面相接，底边长为 $a$， 高为 $h$，求薄板每侧所受的压力 (设水的比重为 $v$)。
其上的压强近似等于 $vx$。
故其上所受的水压力
$\mathrm{d}F=2vxy\text{}dx=\frac{va}{h}x(h-x)dx，$
因此
$P=\frac{va}{h}\int_{0}^{h}x(h-x)dx=\frac{1}{6}va{h}^{2}。$