多元线性回归模型建模过程及代码

多元线性回归模型建模过程及代码

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/weixin_74158859/article/details/145703332

多元线性回归是一种用于建立多个自变量与一个因变量之间线性关系的统计方法。本文将详细介绍多元线性回归模型的建模过程，并提供MATLAB代码示例。

一、基本思想

多元线性回归模型的基本思想是通过建立一个线性方程来描述多个自变量（解释变量）与一个因变量（响应变量）之间的关系。其核心目标是利用自变量的线性组合来预测因变量的值，并量化每个自变量对因变量的影响。

二、建模过程

1. 数据准备与预处理

• 收集数据，处理缺失值、异常值。
• 标准化/归一化数据（可选，尤其是当变量量纲差异较大时）。
• 将分类变量转换为哑变量（如适用）。
• 划分训练集与测试集（验证模型泛化能力）。

2. 模型设定
   假设因变量 Y 与自变量 X1,X2,…,Xp 满足线性关系：
   Y=β0+β1X1+β2X2+⋯+βpXp+ϵ
   其中 ϵ为误差项。

3. 参数估计
   使用最小二乘法（OLS）估计系数 β，最小化残差平方和：
   

4. 模型评估

• 统计指标：R²（决定系数）、调整R²、均方误差（MSE）。
• 假设检验：
• F检验（检验模型整体显著性）。
• t检验（检验单个系数是否显著）。
• 诊断检验：
• 残差分析（正态性、异方差性）。
• 多重共线性检测（方差膨胀因子VIF）。

5. 模型优化

• 变量选择（逐步回归、LASSO）。
• 处理非线性关系（添加多项式项或交互项）。

三、代码实现

以下是MATLAB代码示例：

% 1. 导入数据（示例数据）
load('data.mat'); % 假设X为n×p矩阵，Y为n×1向量

% 2. 数据预处理（标准化）
X_normalized = zscore(X);
Y_normalized = zscore(Y);

% 3. 拟合模型（自动包含截距项）
model = fitlm(X_normalized, Y_normalized);

% 4. 输出模型摘要
disp(model.Summary);

% 5. 残差分析
figure;
plotResiduals(model, 'fitted'); % 残差vs拟合值图
title('残差分析');

% 6. 多重共线性检测（VIF）
vif = diag(inv(corrcoef(X_normalized))); % 若VIF > 10，存在共线性
disp('VIF值：');
disp(vif);

% 7. 预测新数据
X_new = [1, 2, 3]; % 新样本（需标准化）
Y_pred = predict(model, (X_new - mean(X))./std(X));   

四、适用场景

• 因果关系分析：经济学、社会科学中探究变量影响。
• 预测任务：金融、市场营销中的销量/价格预测。
• 前提满足时：数据满足线性、低共线性、大样本。

本文原文来自CSDN