张量数学是如何描述爱因斯坦场方程和杨—米尔斯方程的？
张量数学是如何描述爱因斯坦场方程和杨—米尔斯方程的？
张量数学是描述爱因斯坦场方程和杨—米尔斯方程的重要工具。本文将从张量的基本概念出发，逐步深入到这两个方程的具体内容和物理意义，帮助读者理解这两个在物理学史上具有划时代意义的方程。
张量的基本概念
1. 张量是一种数学语言
简单来说，张量就是一组有序数，是一组有序数的表现方式，或者说是记号。与向量、矩阵一样，张量也是一种表现方式，其本质就是一组有序的数字。张量是比向量和矩阵更高级的记号，它向下包含了向量和矩阵，凡是向量和矩阵能表示的，张量都能更简洁地表示。
2. 张量的表示方法
比如下面这三个张量：
从左至右分别是1、2、3阶张量，小数字写在上面就是上标，写在下面就是下标。因为输入法的原因，我们文本中用符号“_”表示张量下标，用符号“^”表示张量上标。那么上面的张量分别写作——
- X_i是一个1阶张量
- G_uv是一个2阶张量
- F_uv^a是一个3阶张量
上、下标的数量就是张量的阶，即出现了几个上下标张量就是几阶。如果我们不提是几阶张量，就默认是2阶。
3. 张量的分类
比如下面运算中这三个张量：
从左至右分别是混合张量、逆变张量、协变张量。1阶张量g_i的指标i在下方，称为协变张量。1阶张量g^j指标j在上方，称为逆变张量。2阶张量g_i ^j上下都有指标，称为混合张量。随着某一个量的变化，随之一致变化的即为协变，随之相反变化的即为逆变。
4. 张量的运算
张量的各类运算结果也用一个张量来表示，主要运算如下：
- 加减：对应的分量加减即可。
- 点乘：严谨的说法叫缩并，点乘是降阶的。
- 并乘/张量积：并乘是升阶的，并乘结果的阶数就是阶数大的加上阶数小的。
- 叉乘：叉乘是不升不降的。
- 求偏导：张量也可以简写求偏导操作。
爱因斯坦引力场方程
这是一个二阶张量方程，R_uv为里奇曲率张量表示了空间的弯曲状况；G_uv为爱因斯坦张量；T_uv为能量-动量张量，表示了物质分布和运动状况；g_uv为里奇度规张量；R为里奇曲率标量，G为万有引力常数；c为光速；其中u、v= 0,1,2,3，表示四维时空。
1. 能量-动量张量T_uv
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能量-动量2阶张量T_uv展开的4×4矩阵方式
其中1、2、3表示X/Y/Z轴组成的三维空间，0表示第四维度的时间。T_00表示能量密度除以光速的平方；T_01/T_02/T_03为动量密度，即相对论的质量；T_10/T_20/T_30在此表示能量；T_11/T_12/T_13/T_21/T_22/T_23/T_31/T_32/T_33为动量……
2. 里奇曲率张量R_uv
同样是一个二阶张量，它包含了时空曲率的所有信息，是一个在黎曼流形每点的切空间上的对称双线性形式。它是黎曼曲率张量的一个缩并，提供了一个数据去描述给定的黎曼度量所决定的体积，究竟偏离了欧几里得空间多少的程度。
3. 里奇度规张量g_uv
g_uv = ∂x^α/∂x^μ * ∂x^β/∂x^ν * g_αβ
将平直时空的度规变换到引力场中一般坐标系中，就需要引入度规张量，它是从狭义相对论的闵可夫斯基四维的平直坐标系转变为黎曼流体几何坐标系，所需要的一个常量张量，非常复杂，我们简单的知道这个概念即可。
4. 物理意义
爱因斯坦场方程的物理意义是：空间物质的能量-动量T_uv = 空间的弯曲状况R_uv，在任意参考系内，质量都会产生引力，引力会弯曲时空。
杨—米尔斯方程
杨—米尔斯方程的形式如下：
要理解该方程，需要先简单了解一下李群：
从代数上定义，李群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。设G是一个拓扑群，同时是一个微分流形，若G作为群的群乘法与逆映射都是光滑的，则G称为李群。
从几何上看，SU(N)作为李群，它不仅仅是矩阵群，它同时也是一个N²-1维的弯曲流形，即一个高维的曲面。
曲面的切空间TΩ0SU(N)，就是李群SU(N)。我们将SU(N)视为高维的曲面，那么对于任意Ω0∈SU(N)，用表示TΩ0SU(N)在处的切空间。在数学上我们称这个切空间为李代数，它是一个N²-1维的线性空间，其基底是N²-1个线性无关的埃尔米特矩阵，即：
在物理中，我们称这些李代数的基底{τa}是规范场的表示元，原因在于它们确实可以被用来表示规范场[1,2]，是规范场中最基本的物理量，就如同我们中学时所学的向量需要通过坐标系来表达一样。当N=2的时候，这一组基底在标准模型中取用3 个泡利矩阵表示；当N=3的时候，这一组基底在标准模型中取用8个盖尔曼矩阵表示。这两种矩阵是我们讨论强、弱相互作用时要使用的，它们如下图所示：
对李群这个概念，我们继续沿用前面章节1-1-5的集邮的比方，李群中的数组就是每个人的多本集邮册，那么李群就类似于多人组成的集邮协会，是个集合，或群体。
数学符号的意义
- £_YM：杨—米尔斯张量而形式的拉格朗日量，是一个2阶协变张量，即系统的动能T与势能V的差值。
- 张量中的u、v：是指四维时空中的两个指标u 、v = 1,2,3,4。其中1,2,3分别表示X/Y/Z坐标，4表示时间。
- F_uv^a：是一个3阶混合张量，表示规范场a中有u、v两个指标的场强张量F，其中a、b、c的含义和关系见下。
- ∂u和∂v：即∂ψ/∂u和∂ψ/∂v，表示对四维时空中的u、v两个指标求偏导，ψ是规范场中的波函数。
- 张量中a、b、c：符号a是李代数群的指标，表示SU(N)群所对应的规范场数量为N²-1；如SU(2)群弱相互作用对应的3个规范场，a=1,2,3；SU(3)群强相互作用对应的8个规范场，a=1,2,3……,8；指标a决定了指标b、c并构成了李群，它们之间满足张量计算τ_b τ_c - τ_c τ_b = i f_bc^a τ_a，其中τ_a为李代数的基底（基底可以简单的理解为矢量在坐标系中转换的度量衡或转换单位），i为复数，基底的变化还决定了b、c指标不同的取值范围。
- 混合张量f_bc^a：是李代数结构常数，f_bc^a取决于基底τ_a的选择，从上面a、b、c的张量计算式中就能看出a和b、c变换方向相反，所以构成了f_bc^a形式的混合张量。在非阿贝尔群中，这些常数反映了群元素的乘法不满足交换律的特性。
- 符号g：SU(N)群的耦合常数，是粒子通过相互作用转化过程强度的参数。
- 混合张量A_u^a、A_v^a、A_u^b、A_v^c：其中的张量指标u、v、a、b、c的定义同上，A为矢势；前两个二阶混合张量表示粒子在规范场四维时空的矢势；后两个混合张量表示李群结构中的矢势。
物理解释
杨—米尔斯方程从SU(N)规范变换也可以给出拉格朗日作用量—即G_v^a的泛函（泛函是指将函数本身作为一个变量元，形成一个新的函数），那么G_v^a就是规范场：
量子力学的框架是：四种基本相互作用都会辐射场粒子，这种在发生相互作用的过程中辐射出来的场粒子就是媒介子，它是玻色子，也是场能量的携带者。按照规范场理论，媒介子就是由规范场来刻画的基本粒子。在电磁相互作用中，媒介子是光子，规范场就是电磁场；在强相互作用中的媒介子有8种胶子，正好由SU(3)群8种规范场来描述，规范场是强核力场；而弱相互作用中的媒介子有3 种，即W+/W-/Z三种玻色子，而SU(2)规范场有3种，规范场是弱核力场。
媒介子是参与相互作用的一些粒子，它们被认为在相互作用的过程中传递相应的相互作用，是两个费米子发生相互作用的“媒介”。而费米子是构建物质的基本粒子，包括夸克、质子、中子等，由它们组成各种微观粒子，费米子在规范场中由波函数ψ来刻画，描述他们的运动方程是狄拉克方程。
电磁场是U(1)规范场，是可交换的变换群即阿贝尔群。此时杨—米尔斯方程中的耦合常数g为零，那么方程右边只剩下前面两项，∂_u G_a^v -∂_v F_a^u物理意义就是规范场中粒子的拉格朗日作用量（动能-势能）。我们可以从张量形式的麦克斯韦方程组，推导出杨—米尔斯方程，这个过程非常复杂，此处略。
SU(2)和SU(3)为非阿贝尔变换群的规范场。前面描述过，SU(2)群弱相互作用对应的3个规范场，a=1,2,3，对应的是W+、W-和Z三种玻色子形成的3个规范场；SU(3)群强对应相互作用的8种胶子，a=1,2,3……8，形成的8个规范场。
比如SU(2)群的强度张量F_a^u（指标a=1,2,3表示三种玻色子的形成规范场；指标u=1,2,3,4表示X/Y/Z轴和时间轴）的矩阵展开为4×3矩阵：
其中每个分量代表了每个规范场在四维时空中的作用量，方程中的另外几个张量也可以按照此方式展开。指标u、v的含义与前面爱因斯坦场方程第2-2章节的描述形同。
方程最右边的g f_ij^a A_b^u A_c^v是二次项的规范势，含义是SU(2)和SU(3)群中不同规范场的相互作用所形成的场势能，体现了规范场的非线性特征。比如SU(2)群W±玻色子和Z玻色子形成的规范场，因为玻色子质量、速度、动量等不同，形成不同的场势能，这表明不同玻色子的作用量是不同的。
杨—米尔斯方程采用张量和李群的数学方式，描述了规范场场强和能量的转换数学关系，将U(1)×SU(2)×SU(3)作为规范理论，统一了电磁力、弱力和强力，具有划时代的意义。
杨—米尔斯规范场理论得到的最重要结果之一是渐近自由，该结果可以通过假设耦合常数g(小非线性)，高能量和应用摄动理论得到。该理论明显具有普适性，只要规范群有连续的参数，其取值范围是有限的。关键在于适当选择描述规范对称性的连续群，以及粒子规范变换的具体形式，即τ_a的选择。
方程准确的预测了方程中的玻色子种类a，指导弱电统一论和量子色动力学的研究方向，建立了标准模型，迄今为止所有的实验，都没有超过标准模型的预测，这的确是一项伟大的成就。
总结
爱因斯坦场方程和杨-米尔斯方程都是非线性的，而且都是将空间流体面，通过张量方式微分到笛卡尔平直空间坐标，对空间-时间-运动-能量来进行量化计算的。
但是两个方程的张量形式和意义是有区别的：爱因斯坦场方程是将4阶的黎曼张量缩并为2阶的里奇张量来描述的，方程对应的是广义相对论的基本原理，即物质告诉时空怎么弯曲，时空告诉物质怎么运动；杨-米尔斯方程则是通过李群代数的2阶张量和3阶张量二次项来描述的，方程对应的是规范场理论，即粒子的作用在某种规范变换下保持不变，这是一种量子场论。
杨-米尔斯方程虽然统一了电磁力、弱核力和强核力，但是无法与引力场方程自洽，最明显的就是SU(N)群中未包括引力作用，这被少数物理学家夸张的戏称为“物理学的乌云”。但是这并不妨碍广义相对论和规范场论在各自的领域各行其道，获得广泛认可的同时，并对现代物理起到引路航标的作用。