椭圆抛物面

椭圆抛物面

椭圆抛物面是二次曲面的一种，具有独特的几何性质和数学特征。本文将详细介绍椭圆抛物面的标准方程、主要性质以及与旋转抛物面的关系，帮助读者深入理解这一几何概念。

标准方程

椭圆抛物面的标准方程为：
{\displaystyle \dfrac{x^2}{p} + \dfrac{y^2}{q} = 2z}

其中，{\displaystyle p, q > 0} 是该椭圆抛物面的轴参数。

性质

以下性质均基于椭圆抛物面的标准方程讨论：

• 对称性：椭圆抛物面是无心二次曲面，它的对称平面是{\displaystyle yOz, xOz} 平面。

• 有界性：{\displaystyle |z| \geqslant 0}。

• 截面：{\displaystyle z = h~(h \geqslant 0)} 截椭圆抛物面所得的曲线是椭圆或一点，平行于{\displaystyle yOz, xOz} 平面截椭圆抛物面所得的曲线是抛物线。

方程特点

二次曲面的一般方程是：
F(x,y,z)=a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a1x+2a2y+2a3z+a0=0

其中a11,a22,a33,a12,a13,a23{\displaystyle a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{12}, a_{13}, a_{23}} 不全为零。 当它是椭圆抛物面时有{\displaystyle I_3 = 0, I_4 < 0.}

• 特征根：椭圆抛物面有一个零特征根以及两个正特征根，标准方程下的特征根是{\displaystyle \dfrac{1}{p}, \dfrac{1}{q}, 0}；

• 主方向：椭圆抛物面有一个奇向以及两个非奇异主方向；

• 渐近方向：椭圆抛物面的渐近方向在z{\displaystyle z} 轴上；

• 中心：{\displaystyle r = 2 < R = 3}，椭圆抛物面是无心二次曲面；

• 主径面：椭圆抛物面有两个主径面，标准方程下的主径面是{\displaystyle yOz, xOz} 平面。

旋转抛物面

旋转抛物面是一种旋转面，也是椭圆抛物面，它是由双曲线{\displaystyle \begin{cases} y^2 = 2pz \ x = 0 \end{cases}} 绕z{\displaystyle z} 轴旋转所得的，标准方程是{\displaystyle x^2 + y^2 = 2pz.} 空间中到定平面和到定点的距离相等的点的轨迹是旋转抛物面，实际上，如果设定点为{\displaystyle (0, 0, \dfrac{p}{2})^\text{T}}，定平面为{\displaystyle z = - \dfrac{p}{2}}，那么轨迹方程是上述标准方程。