黎曼猜想显著突破！MIT、牛津新论文首次实质性改进Ingham界限
黎曼猜想显著突破！MIT、牛津新论文首次实质性改进Ingham界限
最近，被称为千禧年七大难题之一的黎曼猜想迎来了新突破。MIT数学教授Larry Guth和牛津大学数学研究所教授、菲尔兹奖得主James Maynard在一篇论文中，对黎曼zeta函数零点的经典1940年Ingham界限进行了首次实质性改进。这一突破虽然距离完全解决黎曼猜想还有很大距离，但为数学界带来了新的希望。
黎曼猜想的重要性
黎曼猜想是数学中一个非常重要的未解决问题，与素数分布的精确性质有关。素数是那些只能被1和自身整除的数字，在数论中扮演着基础性的角色。
在当今的数学文献中，已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。这意味着，黎曼猜想及其推广形式一旦被证明，这一千多个命题将被确立为定理，对数学领域产生深远的影响；而如果黎曼猜想被证明是错误的，那么这些命题中的一部分也将随之失去其有效性。
黎曼猜想的基本概念
黎曼猜想或黎曼假设（Riemann Hypothesis）由德国数学家Bernhard Riemann于1859年提出。这个猜想与素数的分布密切相关，其核心内容涉及黎曼ζ函数（Riemann Zeta Function）的非平凡零点。
黎曼ζ函数定义为：
黎曼猜想认为，所有ζ函数的非平凡零点的实部都为1/2。这意味着，如果ζ(s)=0且s是非平凡零点（即s不是负偶数），那么s的实部应为1/2。
历史上的尝试
自黎曼猜想提出以来，很多数学家便开始了探索证明之旅。
- 1896年，法国数学家雅克・阿达马和Charles Jean de la Vallée-Poussin分别独立地证明了在直线上没有零点。
- 1900年，德国数学家大卫・希尔伯特将黎曼猜想包括在他著名的23条问题中。
- 1914年，英国数学家高德菲・哈罗德・哈代证明了有无限个零点在直线上。
- 1940年，数学家Albert Ingham提出了一个描述这些零点的界限。
最新突破
对于Guth和Maynard的新突破，知名数学家陶哲轩评价道：“Guth和Maynard在研究黎曼猜想方面取得了重要进展，尽管离解决这一历史悠久的数学问题还有很长的路要走。”
该研究首次对Ingham在1940年左右关于黎曼ζ函数零点的经典界限做出了实质性改进。1940年，Ingham提出了一个描述这些零点的界限，这个界限对于当时的理论研究构成了基础。然而，直到Guth和Maynard的工作之前，这个界限几乎未被改进过。
Guth和Maynard的突破在于，他们将Ingham的界限从3/5=0.6提高到13/25=0.52。这在解析数论中产生了许多相应的改进，例如，研究者可以在几乎所有短区间内证明素数定理的范围，现在从θ>1/6=0.166…到θ>2/15=0.133…。
研究者简介
Larry Guth
Larry Guth自2019年7月起担任MIT Claude E. Shannon数学教授，并于2021年当选MacVicar Fellow。他的研究兴趣是度量几何、谐波分析和极值组合。
James Maynard
James Maynard生于1987年，是一位英国数学家，研究领域为解析数论，特别是素数理论。他在2013年取得了关于孪生素数猜想的重要成果，证明了存在无穷多对质数，其间隔小于600。2022年，Maynard因在解析数论方面的贡献荣获菲尔兹奖。
期待两位数学家在黎曼猜想等世界难题上取得更多进展。
