一元二次方程根的分布和判别式的应用

一元二次方程根的分布和判别式的应用

引用

新浪网

1.

https://m.edu.iask.sina.com.cn/jy/jVZLCpMvwD.html

一元二次方程是初中数学的重要内容之一，其根的分布和判别式的应用是解题的关键。本文将系统地介绍一元二次方程根的定义、判别式的计算及其对根的影响、判别式的三种应用情况、根与系数的关系，并通过一个例题加深理解。

一、一元二次方程根的分布和判别式的应用

1. 一元二次方程的根
   使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程，再解关于待定系数的方程。

2. 一元二次方程根的个数与根的分布
   一般地，式子$b^2-4ac$叫做方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$的根的判别式，通常用希腊字母$\mathit{Δ}$表示，即$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac$。

• 当$\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac >0$时，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有两个不相等的实数根。即$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
• 当$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac=0$时，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有两个相等的实数根。即$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$。
• 当$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac<0$时，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$无实数根。

3. 一元二次方程根的判别式的应用
   一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：

• 不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可直接判定根的情况。
• 根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围。
• 应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根）。

4. 一元二次方程的根与系数的关系
   当$b^2-4ac\geqslant 0$时，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=$$0$$(a≠0)$有两个实数根$x_1$，$x_2$，且满足求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，则有$x_1+$$x_2=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=$$-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}·$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=$$\frac{c}{a}$。
   即$x_1$，$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。

二、一元二次方程根的分布的相关例题

已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2-4x+1=0$的两个实数根，则$x_1·x_2$等于___

A．$-4$ B．$-1$ C．1 D．4

答案：C

解析：直接根据根与系数的关系求解得$x_1·x_2=$$\frac{c}{a}=1$。