自适应滤波器之横向滤波器
自适应滤波器之横向滤波器
横向滤波器（transversal filter），也称抽头延迟线滤波器（tapped-delay line filter）或有限脉冲响应滤波器（fir filter），是自适应滤波器中最常用的一种滤波器结构。本文将详细介绍其概念、结构和工作原理，并通过一个具体的例子帮助读者理解。
1.横向滤波器
1.1.概念
横向滤波器（transversal filter），也称抽头延迟线滤波器（tapped-delay line filter）或有限脉冲响应滤波器（fir filter），是自适应滤波器中最常用的一种滤波器结构。其结构如图1所示，可以看出，每输入一个数据u ( n ) u(n)u(n)横向滤波器对应地输出一个数据y ( n ) y(n)y(n)。
图1. 横向滤波器
它由三个基本单元组成：单位延迟单元（z − 1 z^{-1}z−1），乘法器和加法器。w m w_mwm 称为滤波器的系数或抽头权值。u ( n ) u(n)u(n)经过单位延迟单元后的结果是u ( n − 1 ) u(n-1)u(n−1)。延迟单元的个数通常称为滤波器的阶数。
根据横向滤波器的结构可得当u ( n ) u(n)u(n)进入到滤波器的时候，滤波器的输出为：
y ( n ) = ∑ m = 0 M w m u ( n − m ) (1) y(n)=\sum_{m=0}^Mw_mu(n-m)\tag{1}y(n)=m=0∑M wm u(n−m)(1)
其中n nn表示时刻，M MM为滤波器的阶数，w m w_mwm 为第m mm个抽头线上的权值，u ( n − m ) u(n-m)u(n−m)表示n nn时刻横向滤波器第m mm个抽头线上的输入数据。亦可将其表示成向量内积的形式，令u ⃗ ( n ) \vec{u}(n)u(n)表示n nn时刻的滤波器输入向量（即n nn时刻滤波器每个抽头输入组成的列向量），w ⃗ ( n ) \vec{w}(n)w(n)表示n nn时刻的抽头权向量（即n nn时刻滤波器每个抽头权值组成的列向量），则：
y ( n ) = u ⃗ T ( n ) w ⃗ ( n ) (2) y(n) = \vec{u}^T(n) \vec{w}(n)\tag{2}y(n)=uT(n)w(n)(2)
1.2.举例
假设进入横向滤波器的数据按照时间先后顺序依次为：1 , 2 , 3 , 4 , 5 1, 2, 3, 4, 51,2,3,4,5
横向滤波器的系数从左到右依次为：5 , 6 , 7 5, 6, 75,6,7
可知此例中，横向滤波器的阶数为2 22，长度为3 33（横向滤波器的长度比它的阶数大1 11）。对照着横向滤波器的结构图可知：
在数字3 33到来的时候，滤波器的输出为：3 ∗ 5 + 2 ∗ 6 + 1 ∗ 7 = 34 3 * 5 + 2 * 6 + 1 * 7 = 343∗5+2∗6+1∗7=34
在数字4 44到来的时候，滤波器的输出为：4 ∗ 5 + 3 ∗ 6 + 2 ∗ 7 = 52 4 * 5 + 3 * 6 + 2 * 7 = 524∗5+3∗6+2∗7=52
在数字5 55到来的时候，滤波器的输出为：5 ∗ 5 + 4 ∗ 6 + 3 ∗ 7 = 70 5 * 5 + 4 * 6 + 3 * 7 = 705∗5+4∗6+3∗7=70
由以上例子可以更进一步理解单位延迟单元的作用，即取其输入数据的前一时刻的数据。
2.参考文献
[1]《自适应滤波器原理》(第五版) 原作者：Simon Haykin