关于不同四边形的中点四边形的一些结论及其证明
关于不同四边形的中点四边形的一些结论及其证明
中点四边形是几何学中的一个重要概念，它是指顺次连接四边形四条边的中点所构成的四边形。本文将详细探讨不同类型的四边形的中点四边形的性质及其证明，帮助读者更好地理解这一几何概念。
中点四边形的定义
顺次连接四边形四条边的中点所构成的四边形为中点四边形。
一般四边形的中点四边形
- 结论：一般四边形的中点四边形是平行四边形。
图1.1.1
证明：
如图1.1.1，四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形，证明四边形EFGH是平行四边形。
证：
由四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形可得，点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点
连接AC,BD如图1.1.2所示
图1.1.2
∵在△ABD中，点H、E分别是线段AD、AB的中点
∴线段EH是△ABD中以线段BD为第三边的中位线
∴有EH∥BD
同理可得，FG∥BD，GH∥AC，EF∥AC
∵有EH∥BD，FG∥BD
∴有EH∥FG
同理可得，GH∥EF
∵在四边形EFGH中，EH∥FG，GH∥EF
∴由平行四边形的判定得，四边形EFGH是平行四边形
平行四边形的中点四边形
- 结论：平行四边形的中点四边形的面积是原平行四边形的一半。
图1.2.1
证明：
如图1.2.1，四边形EFGH是平行四边形ABCD的中点四边形，证明四边形EFGH的面积是平行四边形ABCD的面积的一半。
证：
连接EG、FH，且EG、FH交于共点O，如图1.2.2所示。
图1.2.2
由前证的结论“一般四边形的中点四边形是平行四边形”可得四边形EFGH是平行四边形。
∵点E、G分别是线段AD、BC的中点
∴AE=ED=1/2(AD)，BG=CG=1/2(BC)
∵在平行四边形ABCD中有线段AD平行且相等于线段BC
∴AE=1/2(AD)=1/2(BC)=BG，AE∥BC
∴由平行四边形的判定方法（平面内四边形一组对边平行且相等）得四边形AEGB是平行四边形
同理可得，四边形DEGC、四边形ADFH、四边形HFCB是平行四边形，AH=BH=CF=DF，AE=DE=CG=BG
∵有在平行四边形AEGB中有AE∥BG，在平行四边形ADFH中有AH∥DF，即AE∥OH，AH∥EO
∴由平行四边形的判定得，四边形AEOH是平行四边形
同理可得，四边形EOFD、四边形FOGC、四边形GOHB都是平行四边形
∴由平行四边形对边相等的性质与中点定理得，AE=OH=BG=ED=OF=CG，AH=BH=EO=GO=DF=CF
∵在平行四边形EFGH中有EH=FG，GH=EF
∴由AE=CG，AH=CF，EH=FG得，△AEH≌△CGF
∵在平行四边形AEOH中有∠HAE=∠EOH
∴由∠HAE=∠EOH，AE=OH，AH=EO得△AEH≌△OHE
∴△AEH≌△OHE≌△CGF
∴△AEH的面积=△OHE的面积=△CFG的面积
同理可得，△AEH的面积=△OHE的面积=△OFG的面积=△CFG，△DEF的面积=△OFE的面积=△OHG的面积=△BGH的面积
∵平行四边形ADCB的面积=△AEH的面积+△OHE的面积+△OFG的面积+△CFG的面积+△DEF的面积+△OFE的面积+△OHG的面积+△BGH的面积，平行四边形EFGH的面积=△OHE的面积+△OFG的面积+△OFE的面积+△OHG的面积
∴平行四边形ADCB的面积=2*△OHE的面积+2*△OFG的面积+2*△OFE的面积+2*△OHG的面积=2*(△OHE的面积+△OFG的面积+△OFE的面积+△OHG的面积)=2*平行四边形EFGH的面积
∴可得，平行四边形EFGH的面积=1/2(平行四边形ADCB的面积)，即平行四边形EFGH的面积是平行四边形ADCB的面积的一半
菱形的中点四边形
- 结论：菱形的中点四边形是矩形。
图1.3.1
证明：
如图1.3.1，四边形ABCD是菱形，四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形，证明四边形EFGH是矩形.
证：
连接BD、AC，且BD、AC交于共点O，EH交AC于点I，如图1.3.2所示
图1.3.2
由前证的结论“一般四边形的中点四边形是平行四边形”可得四边形EFGH是平行四边形。
∵在菱形ABCD中有AC⊥BD
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°
∵点E、H分别是线段AD、AB的中点
∴线段EH是△ABD中以BD为第三边的中位线
同理可得，GH是△ABC的以CD的第三边的中位线
∴EH∥BD，AC∥GH
∴∠AIH=∠AOB=∠EHG=90°
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形
∴平行四边形EFGH是矩形
矩形的中点四边形
- 结论：矩形的中点四边形是菱形。
图1.4.1
证明：
如图1.4.1所示，四边形EFGH是矩形ABCD的中点四边形，证明四边形EFGH是菱形。
证：
由前证的结论“一般四边形的中点四边形是平行四边形”可得四边形EFGH是平行四边形。
∵在矩形ABCD中，四个角都是直角，对边相等
∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=BC
∵点E、G分别是AD、BC中点
∴AE=1/2(AD)=1/2(BC)=BG，AH=BH
∵有AE=BG、∠DAB=∠ABC、AH=BH
∴△AEH≌△BGH
∴EH=GH
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴平行四边形EFGH是菱形
正方形的中点四边形
- 结论：正方形的中点四边形是正方形。
图1.5.1
证明：
如图1.5.1所示，四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是正方形ABCD的中点四边形，证明四边形EFGH是正方形。
证：
∵正方形既是矩形又是菱形
∴由前证的结论“菱形的中点四边形是矩形”、“矩形的中点四边形是菱形”可得四边形EFGH既是矩形又是菱形
∵平面内既是矩形又是菱形的四边形是正方形
∴四边形EFGH是正方形
对角线垂直的四边形的中点四边形
- 结论：对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形。
图1.6.1
证明：
如图1.6.1所示，四边形ABCD是对角线垂直的四边形，四边形EFGH是对角线垂直的四边形ABCD的中点四边形，证明四边形EFGH是矩形。
证：
连接AC、BD，且AC、BD共交于点O，线段EF叫AC于点I，如图1.6.2所示
图1.6.2
∵在对角线垂直的四边形ABCD中有AC⊥BD
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°
∵点E、F分别是线段AB、CD的中点
∴线段EF是△ABD中以BD为第三边的中位线
∴EF∥BD
同理可得，FG∥AC
∴∠AIF=∠AOD=∠IFG=90°
由前证的结论“一般四边形的中点四边形是平行四边形”可得四边形EFGH是平行四边形。
∵有一个角是直角的平行四边形是矩形
∴四边形EFGH是矩形
等腰梯形的中点四边形
- 结论：等腰梯形的中点四边形是菱形。
图1.7.1
证明：
如图1.7.1所示，四边形ABCD是等腰梯形，四边形EFGH是等腰梯形ABCD的中点四边形，证明四边形EFGH是菱形。
证：
由前证的结论“一般四边形的中点四边形是平行四边形”可得四边形EFGH是平行四边形。
∵在等腰梯形ABCD中AB=CD，点H、F、E分别是是线段AB、CD、AD的中点
∴AH=1/2(AB)=1/2(CD)=DF，AE=DE
∵有由等腰梯形底角相等得∠BAD=∠CDA、AE=DE、AH=DF
∴△AEH≌△DEF
∴EH=EF
∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴平行四边形EFGH是菱形
其他四边形的中点四边形
图1.8.1——梯形的中点四边形
图1.8.2——筝形的中点四边形
图1.8.3——直角梯形的中点四边形
图1.8.4——圆内接四边形的中点四边形
图1.8.5——对角线相等的四边形的中点四边形