树(Tree) - 概念与基础

树(Tree) - 概念与基础

树（Tree）是一种重要的数据结构，在计算机科学中被广泛应用于各种算法和程序中。本文将详细介绍树的基本概念、术语、表示方法以及二叉树的相关知识，帮助读者全面理解这一基础数据结构。

树的基本概念

树（Tree）是一种重要的数据结构，它在计算机科学中被广泛应用于各种算法和程序中。树是由节点（node）组成的层次结构，其中每个节点都有一个父节点，除了根节点外，每个节点都有零个或多个子节点。树的一个关键特点是没有循环路径：从任何节点开始，通过父节点到达任何其他节点都是唯一的。

树的基本术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

常见类型的树

• 二叉树 (Binary Tree)
• 二叉搜索树（Binary Search Tree，BST）
• 平衡树（Balanced Tree）

树的表示

我们经常用孩子兄弟表示法进行树的结构表示

• 同层为兄弟关系
• 上下层为双亲与孩子的关系

表示法的代码构成：

typedef int Datatype;
struct Node
{
    struct Node* first_Child;  // 指向父亲对应的下一层的第一个孩子
    struct Node* nextBrother;  // 指向该层的下一个兄弟节点
    // 每个节点存放的数据
}

图示：

二叉树的概念和结构

二叉树（Binary Tree）是一种重要的数据结构，它由节点（node）组成的层次结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。二叉树在计算机科学中被广泛应用，是许多其他数据结构和算法的基础。

二叉树的概念

• 根节点（Root）：二叉树的顶部节点，它是整棵树的起点，没有父节点。
• 父节点（Parent）：每个节点都有一个父节点，除了根节点外。父节点连接着它的子节点。
• 子节点（Child）：每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。如果某个节点只有一个子节点或没有子节点，则相应的子节点为空。
• 叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点称为叶子节点。叶子节点位于树的底部，是树的末端。

二叉树的结构

       1
     /   \
    2     3
   / \   / \
  4   5 6   7

• 每个节点最多有两个子节点：每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。
• 层次结构：二叉树是一种层次结构，每个节点的深度可以通过从根节点开始向下计算得到。
• 唯一路径：从根节点到任何其他节点都有唯一的路径，这保证了树的无环结构。

特殊的二叉树类型

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的存储结构

顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。

链式存储示例代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
// 定义二叉树节点结构
typedef struct TreeNode 
{
    int data;
    struct TreeNode* left;
    struct TreeNode* right;
} TreeNode;
// 创建新节点
TreeNode* createNode(int value) 
{
    TreeNode* newNode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
    if (newNode == NULL) 
    {
        printf("Memory allocation failed!\n");
        exit(1);
    }
    newNode->data = value;
    newNode->left = NULL;
    newNode->right = NULL;
    return newNode;
}
// 主函数
int main() 
{
    // 创建二叉树节点
    TreeNode* root = createNode(1);
    root->left = createNode(2);
    root->right = createNode(3);
    root->left->left = createNode(4);
    root->left->right = createNode(5);
    // 访问节点值并输出
    printf("Binary Tree Structure:\n");
    printf("      %d\n", root->data);
    printf("     /  \\ \n");
    printf("    %d    %d\n", root->left->data, root->right->data);
    printf("   / \\ \n");
    printf("  %d   %d\n", root->left->left->data, root->left->right->data);
    return 0;
}