非线性微分方程的线性化
非线性微分方程的线性化
非线性微分方程的线性化是工程领域中一个重要的数学处理方法。通过将复杂的非线性模型简化为线性模型，可以大大简化系统的分析和控制。本文将详细介绍非线性微分方程线性化的原理、条件和具体方法，并通过实例说明其应用。
为什么要进行线性化？
严格的说，几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程，即输入、输出和扰动等之间的关系都是非线性的。非线性微分方程的求解和控制系统性能研究非常复杂，而线性化后的模型可借助叠加原理的性质，简化系统分析。因此，研究非线性微分方程的线性化具有较强的工程实用价值。
什么是非线性数学模型的线性化？
在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法。
符合什么条件的系统可以进行线性化呢？
条件1：小偏差理论或小信号理论
在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作状态和工作点，当变量在工作点（如液位保持不变）附近作小范围的变化时，就满足这个条件。这个条件保证线性化的误差足够小。
条件2：在工作点附近存在各阶导数或偏导数
如何进行线性化
假设微分方程模型中包含非线性函数f(x)如图所示。设y=f(x)，假设系统在工作点(x0, y0)，y0=f(x0)附近变化（条件一），且在该工作点处各阶导数均存在（条件二）。
在(x0, y0)附近将y展开成泰勒级数：
若偏差Δx=x-x0很小，可忽略级数中高阶无穷小项，上式化为：
为了得到线性化的模型，选择输入的偏差Δx=x-x0和输出的偏差Δy=f(x)-f(x0)为变量，得到关于偏差的方程：
K表示y=f(x)曲线在(x0, y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。
线性化方法
小偏差法：在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中的高阶项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。
线性化例子：液位流体过程
如图，Q1为流入量，也是输入量；Q2为流出量；h为液位高度，为系统输出；C为液缸的截面积。工作点附近做微小变化，满足小偏差理论。ps:设非线性项设为F，h0为常数，导数为0
线性化例2（两个变量）
在处理线性化问题时，需要注意以下几点：
- 线性化必须首先确定工作点。
- 在线性化过程中，忽略了泰勒级数中二阶以上的无穷小项，如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差。
- 线性化后的微分方程通常是增量方程。
- 若描述非线性特性的函数具有间断点（A）、折断点(B)或非单值关系©而无法作线性化处理时，则控制系统只能应用非线性理论来研究。