单值函数和多值函数：数学函数的两种基本类型
单值函数和多值函数：数学函数的两种基本类型
本文将带你走进数学函数的世界，深入理解单值函数和多值函数的概念及其区别。通过具体的数学例子，我们将揭示这些看似抽象的数学概念在实际问题中的应用。
【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。
【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。
第五章有理指数的幂函数
§5-7单值函数和多值函数
【01】一个实数 x 的平方 y，可以用等式 y＝x² (1) 来表示，这里，当 x 取任何一个实数值的时候，y 都有一个非负的值和它对应，所以 y 是 x 的函数。
【02】反过来，如果我们问，什么数的平方等于一个非负的实数 x 呢？把所求的数记做 y，那末 y 可以由等式 y＝±√x（x ≥ 0） (2) 来确定。这里，当 x 取任何一个非负的值的时候，y 就有两个确定的数和它对应。
【03】我们把由等式(2)所确定的变量 y 和 x 间的关系，仍旧叫做函数关系，并且说 y 是 x 的函数。但是这种函数和我们前面遇到过的那些函数有些不同。在以前，自变量的每一个确定的值，只对应着一个函数值；而这里，自变量的每一个确定的值，却对应着两个函数值。我们把这种函数叫做多值函数，为了和它区别，我们把前面那种只对应着一个函数值的函数，叫做单值函数。
【04】一般地，多值函数可以这样来定义：
【05】如果两个变量 x 和 y 由一个确定的法则联系着，当变量 x 在它可取值的范围里，取每一个确定的值时，变量 y 有一个或几个确定的值和它对应，就说变量 y 是变量 x 的函数，变量 x 叫做自变量。
例1.求函数 y＝x² 的反函数。
【解】
从等式 y＝x² (1)
得 x＝±√y 。(2)
在(2)里，把字母 x 和 y 对调，得 y＝±√x 。(3)
这就是所求的反函数。这个函数是一个多值函数。
很明显，例1中所求出的多值函数 y＝±√x 可以分成两个单值函数，就是
y＝√x（x ≥ 0，y ≥ 0），和 y＝－√x（x＞0，y＜0）。
所以在我们研究了每一个单值函数之后，就可以知道这个多值函数的性质。
本书中，以后所提到的函数，如果没有特别说明，一般都是指单值函数。
例2.求函数 y＝x²＋1 的单值的反函数。
【解】
从 y＝x²＋1，(1)
得
。(2)
为了求单值的反函数，我们把(2)分成两个式子：
这就是说，函数 y＝x² 在区间 0≤ x＜＋∞ 里的反函数是
，
把字母 x 和 y 对调，就是
；
而在区间－∞＜x＜0 里的反函数是
；
把字母 x 和 y 对调，就是
。
例3.已知变量 y 和 x 间的关系是 x²＋y²＝25，
(1) 以 x 作自变量，写出 y 和 x 的单值的函数关系；
(2) 画出它的图象。
【解】
(1) 由 x²＋y²＝25，(1)
得
。(2)
等式(2)可以分成两个式子：
这就是所求的两个单值函数。
(2) 函数的图象如图5·11 。
在 x 轴上边是函数
的图象，
在 x 轴下边是函数
的图象。
习题5-7
1、已知变量 x 和 y 间有下面的关系，求 y＝(x)：
(1) x²＋y²＝4；
(2) x²－y²＝4；
(3) x²－y²＋4＝0 。
2、画出上面所求出的这些函数当 y ≥ 0 时的图象。
3、求下列函数的单值的反函数：(1) y＝x⁴－1；(2) y＝1/x² 。