一元二次方程根与系数的关系教学设计

一元二次方程根与系数的关系教学设计

一元二次方程根与系数的关系是初中数学中的一个重要知识点，它揭示了方程的根与其系数之间的内在联系。本文将通过两个详细的教学设计，帮助教师更好地理解和教授这一知识点，同时为学生提供一个清晰的学习路径。

教学设计1

教材分析：

一元二次方程根与系数的关系的内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根与系数的关系，以及以数x1、x2为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。

学情分析：

1. 已用求根公式法解一元二次方程。
2. 本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。
3. 在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

教学目标：

1. 知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。
2. 能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3. 情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

教学重难点：

1. 重点：一元二次方程根与系数的关系。
2. 难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

教学过程：

板书设计：
一元二次方程根与系数的关系如果ax+bx+c=0（a≠0）的两根是x1，x2，那么x1+x2= ，x1x2= 。

问题6.在方程ax+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用吗？
①二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；
②当a≠0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；
③当a≠0时，△=b-4ac可判定根的情况；
④当a≠0，b-4ac≥0时，x1+x2=，x1x2=。
⑤当a≠0，c=0时，方程必有一根为0。

学生学习活动评价设计：
本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力。

教学反思：

1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2. 以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3. 一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。
4. 使学生体会解题的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，应注意引导。

教学设计2

复习引入

1. 已知方程 x2—ax—3a=0的一个根是6，则求a及另一个根的值。
2. 有上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系。其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有根简洁的关系？
3. 有求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1= ，x2= 、观察两式左边，分母相同，分子是—b+√b 2—4ac与—b—√b 2—4ac。两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？

探索新知

解下列方程，并填写表格：

观察上面的表格，你能得到什么结论？

（1）关于x的方程 x2+px+q=0（p，q为常数，p2—4q≥0）的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？
（2）关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根x1， x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？

解下列方程，并填写表格：

小结：

1. 根与系数关系：
   （1）关于x的方程x2+px+q=0（p，q为常数，p2—4q≥0）的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=—p， x1、 x2=q（注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。）
   （2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。
   即： 对于方程 ax2+bx+c=0（a≠0）
   ∵ ∴
   ∴ ，
   （可以利用求根公式给出证明）

例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？
例3：已知一元二次方程的两个根是—1和2，请你写出一个符合条件的方程、（你有几种方法？）
例4：已知方程 的一个根是 ，求另一根及k的值、
变式一：已知方程 的两根互为相反数，求k；
变式二：已知方程 的两根互为倒数，求k；

巩固练习

1. 已知方程 的一个根是1，求另一根及m的值、
2. 已知方程 的一个根为 ，求另一根及c的值、

应用拓展

1. 已知关于x的方程 的一个根是另一个根的2倍，求m的值、
2. 已知两数和为8，积为9，求这两个数、
3. x2—2x+6=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，x1x2=6、是否正确？

归纳小结

1. 根与系数的关系：
2. 根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程；（2）判别式大于等于零、

布置作业

1. 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积。
   （1）x2—5x—3=0 （2）9x+2= x2 （3） 6 x2—3x+2=0 （4）3x2+x+1=0
2. 已知方程x2—3x+m=0的一个根为1，求另一根及m的值、
3. 已知方程x2+bx+6=0的一个根为—2求另一根及b的值、