白矮星的钱德拉塞卡极限推导

白矮星的钱德拉塞卡极限推导

白矮星是恒星演化到末期的一种可能形态，其质量上限由钱德拉塞卡极限所决定。这个极限值约为1.44倍太阳质量，意味着如果一颗恒星的质量低于这个值，它最终会演变成白矮星；如果质量超过这个值，则会继续坍缩成中子星或黑洞。本文将详细推导白矮星的钱德拉塞卡极限，揭示这一宇宙奥秘背后的物理原理。

恒星的演化历程

恒星在其寿命末期会发生什么？在以往的物理课程中，我们已经了解到，恒星在末期一般都会发生爆炸，从而抛洒出大量的物质。如果记恒星最后的剩余质量为M，那么当M小于1.44倍太阳质量时，恒星末年会维持在白矮星状态。在白矮星内部，大部分电子都被电离出来了，而由于核子电荷的屏蔽作用，电子和电子之间几乎没有相互作用，从而形成理想电子气体。正是电子气体的压强使得白矮星能够抵御引力的压缩。

当M大于1.44倍太阳质量且小于3倍太阳质量时，恒星最后会成为中子星。如果M大于3倍太阳质量，那么恒星会成为比中子星更致密的星体（比如还存在于假设阶段的夸克星）甚至会变成黑洞。

在这次推导中，我们将分析近零温电子气体的压强以及估算白矮星中心处的压强，最后推导出白矮星的质量上限，也就是钱德拉塞卡极限。

描述星球内部压强的方程

描述星球内部压强的方程是流体静平衡方程。在星球内部取一个底面积是dS，高是dr的柱状微元，柱状微元的母线与星球的径向平行，微元到星球中心的距离是r。在径向方向，微元受到三个力的作用：星球内部物质对微元的引力、微元上下底面受到的压力。

另一方面，均匀球壳不会对其内部质点有引力作用，因此微元受到的引力只来源于半径小于r处的物质。设距离中心r处的密度为ρ(r)，距离中心小于r的物质总质量为M(r)，微元上底面压强是(P+dP)，下底面压强是P，取沿径向指向外的方向为正方面，前述三个力满足的平衡条件为

简单运算一下可以将上式化简为

消去dS，并写成导数形式可得

这就是星球的流体静平衡方程，其中的压强表示星球处于静平衡时的压强。如果星球内部物质所提供的压强小于这个方程给出来的压强，那么这个星球会被引力进一步压缩；如果内部物质提供的压强大于这个方程给出来的压强，那么这个星球会反抗引力的压缩而向外膨胀。

白矮星中心处的压强估算

假设白矮星半径为R，在白矮星表面，因为没有外部的力压迫星球表面物质，因此表面的压强P(R)=0。当半径r趋向于零时，物质密度ρ(r)趋向于白矮星中心密度ρ(0)，由于白矮星内部物质没有被无限压缩，因此ρ(0)是一个有限值。当r非常接近零时，有

所以当r趋向于零时有

这说明压强随半径变化的曲线在r=0处的切线是平行于r轴的。换言之，随着半径r从零变化到R，压强从一个有限值P(0)缓慢下降了一小段，然后再较快速地下降到0。

假设白矮星中心处的压强为Pc，采用线性近似，可以得到

另一方面，根据流体静平衡方程，有

对于密度均匀的星球，M(R/2)会等于M/8。但是，星球的密度一般不是均匀的，而是内大外小，因此M(R/2)往往大于M/8。在这里，将M(R/2)估算为M/3，并将ρ(R/2)估算为白矮星的平均密度，于是上式可以近似为

与前面的结果结合可以得到

化简即得

这是白矮星中心处压强的估算值，只有在白矮星处于平衡状态的时候才成立。前面也提到了，白矮星内部由电子气体的压强来抵抗引力压缩。如果白矮星中心处的电子气体压强小于上式给出的压强，那么这个白矮星会被引力进一步压缩；如果白矮星中心处的电子气体压强大于上式给出的压强，那么白矮星将会在过大的电子气体压强的作用下膨胀。只有在电子气体压强等于静平衡方程给出的压强时，白矮星才会维持平衡。