拉氏变换的收敛域

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@小白创作中心

拉氏变换的收敛域

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来源

https://www.cnblogs.com/codersgl-blog/p/18652514

拉氏变换（Laplace Transform）是一种将时域函数转换为复频域函数的积分变换，在工程和科学领域有着广泛应用，如求解线性常微分方程。其收敛域（Region of Convergence，ROC）指的是复变量$s=\sigma +j\omega$ 平面上，使拉氏变换积分 ${\int }_{0}^{-}{\int }^{\infty }f\left(t\right){e}^{-st}dt$ 收敛的 $s$ 的取值范围。下面对其进行详细介绍：

收敛域的重要性

保证变换存在 ：并非所有函数的拉氏变换都存在，收敛域确定了能使拉氏变换积分收敛的条件，从而保证拉氏变换在该区域内有意义。
决定原函数性质 ：收敛域的特性与原时域函数的性质密切相关，不同的收敛域可能对应相同的拉氏变换表达式，但原函数却不同。通过收敛域，可以准确无误地从拉氏变换反推回原时域函数。
系统分析 ：在分析线性时不变系统时，收敛域有助于判断系统的稳定性。若系统函数 $H\left(s\right)$ 的收敛域包含虚轴（$\sigma =0$），则系统是稳定的。

不同类型函数的收敛域

有限持续时间信号 ：这类信号仅在有限时间区间 $\left[{t}{1},{t}{2}\right]$ 内不为零，其中 $-\infty <{t}{1}<{t}{2}<\infty $，其拉氏变换为 $X\left(s\right)={\int }{{t}{1}}^{{t}_{2}}x\left(t\right){e}^{-st}dt$。由于积分区间有限，只要 $x\left(t\right)$ 在该区间内绝对可积，对于任意的 $s$ 值，积分都收敛。因此，收敛域是整个 $s$ 平面，即 $Re\left(s\right)\in \left(-\infty ,\infty \right)$。例如，矩形脉冲信号 $x\left(t\right)=\left{\begin{array}{ll}1,& 0\le t\le T\ 0,& \text{其他}\end{array}$，其拉氏变换为 $X\left(s\right)=\frac{1-{e}^{-sT}}{s}$，收敛域为整个 $s$平面。
右边信号 ：若信号 $x\left(t\right)$ 在 $t<{t}{0}$时为零（${t}{0}$ 为有限值），则称其为右边信号。以指数增长信号 $x\left(t\right)=\left{\begin{array}{ll}{e}^{at}u\left(t\right),& t\ge 0\ 0,& t<0\end{array}$ 为例，其拉氏变换 $X\left(s\right)={\int }_{0}^{\infty }{e}^{at}{e}^{-st}dt={\int }_{0}^{\infty }{e}^{-\left(s-a\right)t}dt$。利用积分公式 ${\int }_{0}^{\infty }{e}^{-kt}dt=\frac{1}{k}$（$k>0$），要使积分收敛，需 $\left(s-a\right)>0$，即 $Re\left(s\right)>a$。所以，收敛域为 $Re\left(s\right)>a$，是 $s$ 平面上某条垂线 $\sigma =a$ 右侧的区域。
左边信号 ：若信号 $x\left(t\right)$ 在 $t>{t}{0}$时为零（${t}{0}$为有限值），则为左边信号。例如 $x\left(t\right)=\left{\begin{array}{ll}-{e}^{at}u\left(-t\right),& t\le 0\ 0,& t>0\end{array}$，其拉氏变换 $X\left(s\right)={\int }{-\infty }^{0}-{e}^{at}{e}^{-st}dt=-{\int }{-\infty }^{0}{e}^{-\left(s-a\right)t}dt$。要使积分收敛，需 ((s - a) < 0)，即 $Re\left(s\right)<a$。收敛域为 $Re\left(s\right)<a$，是 $s$平面上某条垂线 $sigma=a$ 左侧的区域。
双边信号 ：双边信号是在整个时间轴上都有定义的信号，可看作右边信号和左边信号的组合。设 $x\left(t\right)={x}{1}\left(t\right)+{x}{2}\left(t\right)$，其中 ${x}{1}\left(t\right)$ 是右边信号，收敛域为 $Re\left(s\right)>{\sigma }{1}$；${x}{2}\left(t\right)$是左边信号，收敛域为 $Re\left(s\right)<{\sigma }{2}$。当 ${\sigma }{1}<{\sigma }{2}$ 时，双边信号 $x\left(t\right)$ 的收敛域为 ${\sigma }{1}<Re\left(s\right)<{\sigma }{2}$，是 $s$ 平面上的一个带状区域；当 ${\sigma }{1}\ge {\sigma }{2}$ 时，两个收敛域没有交集，此时 $x\left(t\right)$的拉氏变换不存在。

收敛域的性质

连通性 ：收敛域是 $s$ 平面上的连通区域，这意味着在收敛域内，任意两点都可以通过一条完全位于该区域内的连续曲线连接起来。
平行于虚轴 ：若 $s={\sigma }{0}+j\omega$ 在收敛域内，那么对于任意实数 ${\omega }{1}$，$s={\sigma }{0}+j{\omega }{1}$也在收敛域内。这表明收敛域是由平行于虚轴的带状区域或半平面组成。