汉诺塔：从问题起源到算法实现

汉诺塔：从问题起源到算法实现

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/2302_79244524/article/details/135662270

汉诺塔问题是一个经典的数学和编程问题，源自印度的古老传说。它不仅考验思维逻辑，更是递归算法的典型应用。本文将从问题起源、解题思路到多种编程语言的实现代码，全面解析汉诺塔问题，帮助读者深入理解递归算法。

汉诺塔的历史背景

汉诺塔问题，也被称为河内塔问题，是一个源自印度的古老数学谜题。传说中，在印度的一座寺庙里，有一座神奇的塔，塔上有三根针，开始时有64个不同大小的金盘子，从大到小排列在一根针上。僧侣们每天都要按照规则搬动这些金盘子：每次只能移动一个盘子，且大盘子不能放在小盘子上面。据说当所有的盘子都从初始针移到目标针上时，世界就会迎来末日！

19世纪，法国数学家爱德华·卢卡斯研究了这个问题，并找到了解决方法，使得汉诺塔问题成为计算机科学中的经典问题。通常，我们可以用递归的方式解决汉诺塔问题，这种方法也是许多编程语言中经典的案例之一。

以两个盘子的汉诺塔为例：

汉诺塔的核心规则：

1. 必须把大盘子放在小盘子上面，不能搞错顺序。
2. 每次只能移动一个盘子。

我们给每个柱子编号：从左到右依次为A、B、C。使用X→Y来表示把某个柱子的顶部盘子移到另一个柱子上，其中X代表起始柱子，Y代表目标柱子。例如：A→B。

以两个盘子为例，移动步骤如下：

• A→B
• A→C
• B→C

通过简单的逻辑分析，我们已经解决了两个盘子的汉诺塔问题，并了解了一些有关历史背景。

汉诺塔的思路解析

我们来看看三个汉诺塔问题是怎么解决的：

1. A → C
2. A → B
3. C → B
4. A → C
5. B → A
6. B → C
7. A → C

看起来很复杂，但我们可以引入一个“参考系”的概念。如果我们把A柱最底下的那个盘子当成地面（就当它不存在），那么我们实际上是在做一个由A柱向B柱移动两个盘子的汉诺塔问题，然后再把之前在A柱当成地面的那个最底层的盘子移动到C柱上。接着再做一个由B柱向C柱移动两个盘子的汉诺塔问题。

这种思考方式可以将N个汉诺塔问题拆分为两个N-1的汉诺塔问题再加上一个最底层的参考系移动步骤。我们将解决N个汉诺塔问题所需步骤数的函数定义为f(n)，那么就有：

f(n) = {
2f(n-1)+1, n>1
1, n=1
}

根据递推公式的相关知识，我们可以得到最终结果：

f(n) = 2^n - 1

把n = 1代入公式可以验证一下，发现公式是有效的！

不过，仅仅知道步骤数还不够，我们还需要知道具体的步骤。但这件事如果让人来做，那可真是费时费力呀！好在我们可以交给机器来实现代码，让它来帮我们解决问题。

汉诺塔的代码实现

首先，我们定义了一个名为hanoiTower()的函数来解决汉诺塔问题，那么我们需要传入哪些参数呢？考虑到这个问题涉及三个柱子以及N个圆盘，所以我们至少需要传入4个参数。但是，根据需求看起来不需要返回值呢！

所以，我们可以试试这样的定义：

void hanoiTower(int n, char x, char y, char z);

第一个参数n代表解决的是N个汉诺塔问题，而接下来的三个字符变量则表示从左到右的三个柱子。

好了，接下来就是重头戏，让我详细解释一下实现吧！

#include <math.h>
#include <stdio.h>
void hanoiTower(int n, char x, char y, char z) {
  if (n > 1) {
    hanoiTower(n - 1, x, z, y);
    printf("%c -> %c\n", x, z);
    hanoiTower(n - 1, y, x, z);
  } else {
    printf("%c -> %c\n", x, z);
  }
}
int main(void) {
  int n = 0;
  char a = 'A', b = 'B', c = 'C';
  scanf("%d", &n);
  hanoiTower(n, a, b, c);
  printf("%d\n", (int)(pow(2, n) - 1));
  return 0;
}

让我简单解释一下这段代码。当n > 1时，我们会进入递归函数（因为只要n > 1，问题就可以被分解成n = 1的情况）。我们来看看if()语句的部分，它首先会将x柱上的n-1个圆盘移动到y柱上，然后将x柱上最底层的圆盘移动到z柱上，最后将y柱上的n-1个圆盘移动到z柱上。问题解决啦！因为我有点懒，所以使用了math.h中的pow()函数来计算步骤数。需要注意的是，pow()函数返回的是double类型的值，所以我们需要进行强制类型转换。

以下是Python代码实现：

def hanoiTower(n, x, y, z):
    if n > 1:
        hanoiTower(n - 1, x, z, y)
        print(f"{x} -> {z}")
        hanoiTower(n - 1, y, x, z)
    elif n == 1:
        print(f"{x} -> {z}")
if __name__ == "__main__":
    n = int(input())
    a, b, c = "A", "B", "C"
    hanoiTower(n, a, b, c)
    print(2**n - 1)

以下是Java代码实现：

import java.util.Scanner;
public class Main {
    public static void hanoiTower(int n, char x, char y, char z) {
        if (n > 1) {
            hanoiTower(n - 1, x, z, y); 
            System.out.println(x + " -> " + z); 
            hanoiTower(n - 1, y, x, z); 
        } else {
            System.out.println(x + " -> " + z); 
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int n = input.nextInt();
        char a = 'A', b = 'B', c = 'C';
        hanoiTower(n, a, b, c);
        System.out.println((int) Math.pow(2, n) - 1);
    }
}

以下是Rust代码实现：

use std::io;
fn hanoi_tower(n: usize, x: char, y: char, z: char) {
    if n > 1 {
        hanoi_tower(n - 1, x, z, y);
        println!("{} -> {}", x, z);
        hanoi_tower(n - 1, y, x, z);
    } else {
        println!("{} -> {}", x, z);
    }
}
fn main() {
    let mut input = String::new();
    io::stdin().read_line(&mut input).expect("Failed to read line");
    let n: usize = input.trim().parse().expect("Please enter a number");
    let a = 'A';
    let b = 'B';
    let c = 'C';
    hanoi_tower(n, a, b, c);
    println!("{}", 2_usize.pow(n as u32) - 1);
}