数学建模中的常用插值算法与代码实践

数学建模中的常用插值算法与代码实践

在数学建模和数据处理中，插值算法是一种常用的数据拟合方法。通过已知数据点，插值算法可以生成新的数据点，从而更好地分析和处理数据。本文将详细介绍几种常用的插值算法及其Python实现，包括多项式插值、拉格朗日插值、Hermite插值和三次样条插值等。

一、插值法的定义

插值法是一种通过已知数据点来构造函数的方法，使得构造出的函数能够通过所有已知数据点。在数学建模中，插值法常用于数据拟合、函数逼近等问题。

二、非重点插值法的介绍

1. 多项式插值

多项式插值是最基本的插值方法之一，其核心思想是通过一个多项式函数来拟合已知数据点。多项式插值的精度取决于多项式的阶数，阶数越高，拟合效果越好，但同时也可能导致过拟合问题。

2. 拉格朗日插值

拉格朗日插值是一种常用的多项式插值方法，其优点是公式简单，易于理解和实现。拉格朗日插值通过构造拉格朗日基函数来实现插值，每个基函数只在对应的数据点处取值为1，在其他数据点处取值为0。

（1）低阶拉格朗日插值

对于低阶数据点，可以直接使用拉格朗日插值公式进行插值。例如，对于两个数据点，可以使用线性插值；对于三个数据点，可以使用二次插值。

（2）拉格朗日插值的抽象数学表达

拉格朗日插值的数学表达式为：
[ P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x) ]
其中，$L_i(x)$是拉格朗日基函数，定义为：
[ L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} ]

3. 分段插值法

分段插值法通过将数据区间划分为多个小段，对每个小段分别进行插值，从而提高插值精度。常见的分段插值方法包括分段线性插值和分段二次插值。

（1）分段线性插值与分段二次插值

分段线性插值通过在每个小段内使用线性函数进行插值，而分段二次插值则使用二次函数进行插值。分段插值可以有效避免多项式插值中的龙格现象。

（2）牛顿插值法

牛顿插值法是一种改进的多项式插值方法，通过使用差商来构造插值多项式。牛顿插值法的优点是易于添加新的数据点，而无需重新计算整个插值多项式。

三、龙格现象

龙格现象是多项式插值中常见的问题，主要表现为在数据两端出现剧烈的震荡。龙格现象的产生主要是由于高阶多项式插值的不稳定性和数值误差的累积。

四、为什么不选择上述的插值方法？（省流：不光滑）

上述插值方法虽然能够满足插值条件，但在实际应用中存在一些问题。例如，拉格朗日插值和牛顿插值虽然能够保证插值点的函数值相等，但无法保证插值多项式的光滑性。在许多实际问题中，不仅需要插值函数在插值节点处与被插函数有相同的函数值，还需要在某些节点上具有相同的导数值。

五、埃尔米特(Hermite)插值

1. 埃尔米特插值的基本思路与原理

埃尔米特插值是一种改进的插值方法，它不仅要求插值多项式在插值节点处与被插函数有相同的函数值，还要求在某些节点上具有相同的导数值。这种插值方法可以更好地保持函数的光滑性。

2. 分段三次埃尔米特插值的代码实现

直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，也存在着龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次 Hermite 插值多项式 (PCHIP)。

（1）pchip代码

使用pchip代码得到的结果是依据原数据点，把新数据点x_new向量给出对应的y_new

（2） plot函数可视化

plot函数中，可以设置第三个参数来调整数据点的连接方式与颜色,顺序为：颜色——点——线

六、三次样条插值

1. 三次样条插值的原理

三次样条插值是一种常用的光滑插值方法，其核心思想是通过分段三次多项式来拟合数据点，同时保证相邻段在连接点处具有相同的函数值、一阶导数和二阶导数。三次样条插值可以有效避免龙格现象，同时保持插值函数的光滑性。

2. 三次样条插值的代码实现

（1）pline函数

pline函数用于实现三次样条插值的具体计算。

（2）legend（图例） 函数

legend函数可以给图例命名与调整图例的方向

(3)插值结果对比

通过对比不同插值方法的结果，可以更直观地理解各种方法的优劣。

七、n维数据的插值

在实际应用中，数据往往不是简单的二维数据，而是多维数据。对于n维数据的插值，可以采用类似的插值方法，但实现起来会更加复杂。在数学建模中，一般不会直接给一个多项函数让你插值，因此此处仅作了解。