对弧长的曲线积分详解

对弧长的曲线积分详解

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/tang7mj/article/details/139663581

本篇文章详细介绍了对弧长的曲线积分的概念、性质和计算方法。通过实际问题引入，逐步推导出曲线积分的定义，并通过具体的计算例子帮助读者理解这一数学概念。

第十一章 曲线积分与曲面积分

上一章我们已经将积分概念从积分范围为数轴上一个区间的情形推广到积分范围为平面或空间内的一个闭区域的情形。本章将进一步将积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面（这样推广后的积分称为曲线积分和曲面积分），并阐明有关这两种积分的一些基本内容。

第一节 对弧长的曲线积分

一、对弧长的曲线积分的概念与性质

在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应该根据构件各部分受力情况，把构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样。因此，可以认为这构件的线密度（单位长度的质量）是变量。假设这构件所处的位置在 xy 面内的一段曲线弧 L 上，它的端点是 A、B，在 L 上任一点 (x,y) 处，它的线密度为 μ(x,y)。现在要计算这构件的质量 m（如图11-1所示）。

如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积。现在构件上各点处的线密度是变量，就不能直接用上述方法来计算。为了克服这个困难，可以用 L 上的点 M1,M2,…,Mn 把 L 分成 n 个小段，取其中一小段构件 Mi−1Mi 来分析。在线密度连续变化的前提下，只要这小段很短，就可以用这小段上任一点 ξi 处的线密度代替这小段上其他各点处的线密度，从而得到这小段构件的质量的近似值为：

其中 Δsi 表示 Mi−1Mi 的长度，于是整个曲线形构件的质量：

用 λ 表示 n 个小弧段的最大长度。为了计算 m 的精确值，取上式右端之和当 λ→0 时的极限，从而得到：

这种和的极限在研究其他问题时也会遇到。现在引进下面的定义：

定义设 L 为 xy 面内的一条光滑曲线弧，函数 f(x,y) 在 L 上有界。在 L 上任意插入一点列 M1,M2,…,Mn 把 L 分成 n 个小段。设第 i 个小段的长度为 Δsi ，又 ξi 为第 i 个小段上任意取定的一点，作乘积 f(ξi)Δsi （i=1,2,…,n），并作和，如果当各小弧段的长度的最大值 λ→0 时，这和的极限总存在，且与曲线弧 L 的分法及点 ξi 的取法无关，那么称此极限为函数 f(x,y) 在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作：

其中 f(x,y) 叫做被积函数，L 叫做积分弧段。

在第二目中我们将看到，当 f(x,y) 在光滑曲线弧 L 上连续时，对弧长的曲线积分 ∫Lf(x,y) ds 是存在的。以后我们总假定 f(x,y) 在 L 上是连续的。

根据这个定义，前述曲线形构件的质量 m 当线密度 μ(x,y) 在 L 上连续时，就等于 μ(x,y) 对弧长的曲线积分，即：

上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间曲线弧 Γ 的情形，即函数 f(x,y,z) 在曲线弧 Γ 上对弧长的曲线积分：

如果 L（或 Γ）是分段光滑的，我们规定函数在 L（或 Γ）上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分之和。例如，设 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 及 L2 （记作 L=L1+L2 ），就规定：

如果 L 是闭曲线，那么函数 f(x,y) 在闭曲线 L 上对弧长的曲线积分记作：

对弧长的曲线积分的性质

从对弧长的曲线积分的定义可知，它有以下性质：

性质1设 α、β 为常数，则：

性质2若积分弧段 L 可分成两段光滑曲线弧 L1 和 L2 ，则：

性质3设在 L 上 f(x,y)≤g(x,y)，则：

特别地，有：

二、对弧长的曲线积分的计算方法

定理

设 f(x,y) 在曲线弧 L 上有定义且连续，L 的参数方程为：

若 φ(t)、ψ(t) 在 [α,β] 上具有一阶连续导数，且 φ′2(t)+ψ′2(t)≠0，则曲线积分 ∫Lf(x,y) ds 存在，且

证明

假定当参数 t 由 α 变至 β 时，L 上的点 M(x,y) 依点 A 至点 B 的方向描出曲线弧 L。在 L 上取一列点：

它们对应于一列单调增加的参数值：

根据对弧长的曲线积分的定义，有：

设点 (ξi,ηi) 对应于参数值 τi ，即 ξi=φ(τi)，ηi=ψ(τi)，这里 ti−1≤τi≤ti 。由于：

其中 Δti=ti−ti−1 。于是：

由于函数 φ′2(t)+ψ′2(t) 在闭区间 [α,β] 上连续，我们可以把上式中的 τi 换成 ti ，从而：

上式右端的和的极限就是函数 f(φ(t),ψ(t))φ′2(t)+ψ′2(t) 在区间 [α,β] 上的定积分，因为这个函数在 [α,β] 上连续，所以这个定积分是存在的。因此，上式左端的曲线积分也存在，并且有：

计算对弧长的曲线积分的方法

如果曲线弧 L 由方程：

给出，那么可以把这种情形看做是特殊的参数方程：

的情形，从而由公式 (1-1) 得出：

类似地，如果曲线弧 L 由方程：

给出，那么有：

公式 (1-1) 可推广到空间曲线弧 Γ 由参数方程：

给出的情形，这时有：

三、对弧长的曲线积分的例子

例 1

计算 ∫Lds，其中 L 是抛物线 y=x2 上点 O(0,0) 与点 B(1,1) 之间的一段弧（如图11-2所示）。

解

由于 L 由方程 y=x2 （0≤x≤1）给出，因此：

由于 y=x2，则 dydx=2x，于是：

利用积分公式：

因此：

所以：

例 2

计算半径为 R、中心角为 2α 的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I（设线密度 μ=1）。

解

取坐标系如图11-3所示，则：

为了便于计算，利用 L 的参数方程：

于是：

所以：

例 3

解

利用螺旋线的参数方程：

所以：

所以：

图示

• 图11-2：抛物线 y=x2 上点 O(0,0) 与点 B(1,1) 之间的一段弧
• 图11-3：半径为 R、中心角为 2α 的圆弧 L 及其对称轴的转动惯量的计算示意图