伯努利数——详解

伯努利数——详解

引用

CSDN

1.

https://m.blog.csdn.net/w_w_wwwww/article/details/145413350

伯努利数是数论中的一个重要概念，与组合数学、解析数论等领域都有密切联系。它最早由雅各布·伯努利在研究幂和公式时发现，具有丰富的数学性质和广泛的应用场景。本文将详细介绍伯努利数的定义、历史背景及其数学性质。

伯努利数是一个与数论有密切关联的有理数序列。前几项被发现的伯努利数分别为：

等幂求和

伯努利数是由雅各布·伯努利的名字命名的，他在研究次幂和的公式时发现了奇妙的关系。我们记

伯努利观察了如下一列公式，勾画出一种模式：

可以发现，在中的系数总是，的系数总是，的系数总是，的系数是，的系数总是零等。

而的系数总是某个常数乘以，表示下降阶乘幂，即。

递推公式

伯努利数由隐含的递推关系定义：

例如，，前几个值显然是

证明

利用归纳法证明

这个证明方法来自 Concrete Mathematics 6.5 BERNOULLI NUMBER。运用二项式系数的恒等变换和归纳法进行证明：

令，我们希望证明，假设对，有。

将原式中两边都减去后可以得到：

尝试在式子的右边加上再进行化简，可以得到：

不妨设，并且将展开，那么有

将第二个中的求和顺序改为逆向，再将组合数的写法恒等变换可以得到：

对两个求和符号进行交换，可以得到：

对进行恒等变换：

＝

那么式子就变成了：

将所有的用代替，那么就可以得到：

考虑我们前面提到过的递归关系代入后可以得到：

于是，且有。

利用指数生成函数证明

对递推式两边都加上，即得到：

设，注意到左边为卷积形式，故：

设，则：

调换求和顺序：

代入：

由于，即：

故得证。