傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数与傅里叶变换的关系
傅里叶级数与傅里叶变换是信号处理和数学分析中的两个重要概念。本文将通过严密的数学推导，详细阐述两者之间的关系，并总结出几个关键的公式，帮助读者更好地理解这一重要知识点。
本文严密推导并详细阐述了傅里叶变换和傅里叶级数之间的关系，总结本文推导出的公式的主要作用如下：
① 已知周期信号的傅里叶级数，可以快速求出其傅里叶变换。
② 已知周期信号f T ( t ) f_{T}(t)fT (t)一个周期内的截断函数f 0 ( t ) f_0(t)f0 (t)的傅里叶变换，可以快速求出f T ( t ) f_{T}(t)fT (t)的傅里叶变换。
③ 已知周期信号f T ( t ) f_{T}(t)fT (t)一个周期内的截断函数f 0 ( t ) f_0(t)f0 (t)的傅里叶变换，也可以快速求出f T ( t ) f_{T}(t)fT (t)的傅里叶级数。
1. 公式回顾
我们知道，周期信号可以分解成三角函数集或虚指数函数集的线性组合（傅里叶级数），进而可以得到单边谱或双边谱，但是非周期信号却不能用傅里叶级数来表示。在傅里叶变换那点事这篇文章中，我们通过把非周期信号看成是周期无穷大的周期信号，从傅里叶级数推导出了傅里叶变换，现在来回顾一下：
对周期为T \color{blue}{T}T的信号进行分解得到的傅里叶级数的系数F n \color{blue}{F_n}Fn 可以表示为下式
F n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j n Ω t d t F_n = \frac{1}{T}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{:\it -j n\Omega t}\rm d \it t}Fn =T1 ∫−2T 2T f(t)e−jnΩtdt
通过把非周期信号看成是周期无穷大的周期信号，得到的傅里叶变换的系数F ( j ω ) \color{blue}{F(j\omega)}F(jω)可以表示为下式：
F ( j ω ) = lim T → ∞ F n T \color{blue}{F(j\omega)=\lim _{T \rightarrow \infty} F_n T}F(jω)=T→∞lim Fn T
F ( j ω ) F(j\omega)F(jω)其实代表的是频谱密度函数，简称频谱。这便是公式上的联系。
2. 周期信号的傅里叶变换
从前面系列的文章中，我们知道对于周期信号，我们可以求傅里叶级数得到频谱；对于非周期信号（满足狄利克雷条件为前提），我们可以求傅里叶变换得到频谱。但是，对于周期信号，我们能不能求其傅里叶变换呢？
根据公式回顾，可以这么想：对于周期信号， 通过傅里叶级数得到的频谱为离散谱，其中任意一根频谱，对应的值肯定是常数。根据公式F ( j ω ) = lim T → ∞ F n T \color{blue}{F(j\omega)=\lim _{T \rightarrow \infty} F_n T}F(jω)=limT→∞ Fn T, 那么周期信号的通过傅里叶变换得到的系数也一定为离散谱，且对任一频谱，其值为无穷大。无穷大究竟为多大呢？仅仅通过这个公式好像无法得到周期信号的傅里叶变换的系数的具体表达式。
只要思想不滑坡，办法总比困难多，下面我们就通过傅里叶变换的性质来求：
假设一周期信号f T ( t ) f_T(t)fT (t)的傅里叶级数可以表示为：
f T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n Ω t f_{T}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \mathrm{e}^{j n \Omega t}fT (t)=n=−∞∑∞ Fn ejnΩt
其中，F n F_nFn 可以通过下式求得：
F n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f T ( t ) e − j n Ω t d t F_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f_{T}(t) \mathrm{e}^{-j n \Omega t} \mathrm{~d} tFn =T1 ∫−2T 2T fT (t)e−jnΩt dt
根据傅里叶变换的线性性质，可以求得f T ( t ) f_T(t)fT (t)的傅里叶变换为：
F [ f T ( t ) ] = F [ ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n Ω t ] = ∑ n = − ∞ ∞ F n F [ e j n Ω t ] = ∑ n = − ∞ ∞ F n 2 π δ ( ω − n Ω ) = 2 π ∑ n = − ∞ ∞ F n δ ( ω − n Ω ) \begin{aligned} \mathrm{F}\left[f_{T}(t)\right] &=\mathrm{F}\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \mathrm{e}^{j n \Omega t}\right]\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \mathrm{~F}\left[\mathrm{e}^{j n \Omega t}\right] \ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} 2 \pi \delta(\omega-n \Omega) \ &=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \delta(\omega-n \Omega) \end{aligned}F[fT (t)] =F[n=−∞∑∞ Fn ejnΩt]=n=−∞∑∞ Fn F[ejnΩt]=n=−∞∑∞ Fn 2πδ(ω−nΩ)=2πn=−∞∑∞ Fn δ(ω−nΩ)
上式推导过程中用到了傅里叶变换的频移性质，即：
∵ 1 ⟷ 2 π δ ( ω ) ∴ e j ω 0 t ⟷ 2 π δ ( ω − ω 0 ) \begin{array}{c} \because \qquad \quad \quad1 \longleftrightarrow 2 \pi \delta(\omega) \ \therefore \quad e^{j \omega_{0} t} \longleftrightarrow 2 \pi \delta\left(\omega-\omega_{0}\right) \end{array}∵1⟷2πδ(ω)∴ejω0 t⟷2πδ(ω−ω0 )
因此，如果我们已经求得了周期信号的傅里叶级数，便可以得到其傅里叶变换：
f T ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ F n e j n Ω t ⟷ F T ( j ω ) = 2 π ∑ n = − ∞ ∞ F n δ ( ω − n Ω ) f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \mathrm{e}^{j n \Omega t} \longleftrightarrow F_{T}(j \omega)=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \delta(\omega-n \Omega)fT (t)=n=−∞∑∞ Fn ejnΩt⟷FT (jω)=2πn=−∞∑∞ Fn δ(ω−nΩ)
举个例子吧，如果周期信号为矩形脉冲信号，则原信号，傅里叶级数对应的频谱、傅里叶变换对应的频谱分别如下图所示：
3. 傅里叶级数与傅里叶变换的关系
3.1 梳状函数的频谱图仍然是梳状函数
在求关系之前，我们先介绍一个比较经典的周期函数，人称梳状函数，其形似梳，故得名，图如下：
其表达式也很简单，为：
δ T ( t ) = ∑ m = − ∞ ∞ δ ( t − m T ) {\delta}{T}(t)=\sum{m=-\infty}^{\infty} \delta(t-m T)δT (t)=m=−∞∑∞ δ(t−mT)
我们很容易求得该周期信号的傅里叶级数：
F n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j n Ω t d t = 1 T F_{n}=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) e^{-j n \Omega t} d t=\frac{1}{T}Fn =T1 ∫−2T 2T f(t)e−jnΩtdt=T1
通过本文上面得到的公式，可以得到该周期信号的傅里叶变换为：
δ T ( t ) ⟷ 2 π ∑ n = − ∞ ∞ 1 T δ ( ω − n Ω ) = Ω ∑ n = − ∞ ∞ δ ( ω − n Ω ) = Ω δ Ω ( ω ) \delta_{T}(t) \longleftrightarrow 2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{T} \delta(\omega-n \Omega)=\Omega \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-n \Omega)=\Omega \delta_{\Omega}(\omega)δT (t)⟷2πn=−∞∑∞ T1 δ(ω−nΩ)=Ωn=−∞∑∞ δ(ω−nΩ)=ΩδΩ (ω)
所以其频谱图如下，依旧是梳状函数：
3.2 梳状函数与别的函数卷积的结果一定是周期信号
梳状函数与任意信号f ( t ) f(t)f(t)的卷积结果g ( t ) g(t)g(t)一定是周期信号，证明如下：
g ( t ) = f ( t ) ∗ δ T ( t ) = f ( t ) ∗ ∑ m = − ∞ ∞ δ ( t − m T ) = ∑ m = − ∞ ∞ f ( t − m T ) g(t)=f(t) * \delta_{T}(t)=f(t) * \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(t-m T)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} f(t-m T)g(t)=f(t)∗δT (t)=f(t)∗m=−∞∑∞ δ(t−mT)=m=−∞∑∞ f(t−mT)
因为上式中m mm取值为整数，所以对于任意自变量t tt, 都有g ( t ) = g ( t + T ) g(t)=g(t+T)g(t)=g(t+T),即g ( t ) g(t)g(t)是周期函数。
不仅如此，我们很容易知道任意周期信号f T ( t ) f_{T}(t)fT (t)（周期为T TT）可以通过其一个周期内的截断函数f 0 ( t ) f_0(t)f0 (t)与δ T ( t ) \delta_{T}(t)δT (t)的卷积得到:
f T ( t ) = δ T ( t ) ∗ f 0 ( t ) f_{T}(t)=\delta_{T}(t) * f_{0}(t)fT (t)=δT (t)∗f0 (t)
由于时域卷积等于频域相乘，所以周期信号f T ( t ) f_{T}(t)fT (t)的傅里叶变换还可以这么得到：
F T ( j ω ) = Ω δ Ω ( ω ) F 0 ( j ω ) = Ω ∑ n = − ∞ ∞ F 0 ( j n Ω ) δ ( ω − n Ω ) F_{T}(j \omega)=\Omega \delta_{\Omega}(\omega) F_{0}(j \omega)=\Omega \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{0}(j n \Omega) \delta(\omega-n \Omega)FT (jω)=ΩδΩ (ω)F0 (jω)=Ωn=−∞∑∞ F0 (jnΩ)δ(ω−nΩ)
因此，如果我们已知周期信号f T ( t ) f_{T}(t)fT (t)一个周期内的截断函数f 0 ( t ) f_0(t)f0 (t)的傅里叶变换，可以快速求出f T ( t ) f_{T}(t)fT (t)的傅里叶变换。
3.3 傅里叶级数与傅里叶变换的关系
通过本文第2节，我们得到：
F T ( j ω ) = 2 π ∑ n = − ∞ ∞ F n δ ( ω − n Ω ) F_{T}(j \omega)=2 \pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{n} \delta(\omega-n \Omega)FT (jω)=2πn=−∞∑∞ Fn δ(ω−nΩ)
通过本文3.2节，我们得到：
F T ( j ω ) = Ω ∑ n = − ∞ ∞ F 0 ( j n Ω ) δ ( ω − n Ω ) F_{T}(j \omega)=\Omega \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_{0}(j n \Omega) \delta(\omega-n \Omega)FT (jω)=Ωn=−∞∑∞ F0 (jnΩ)δ(ω−nΩ)
对比上面的两个式子，可以得到：
F n = Ω 2 π F 0 ( j n Ω ) = 1 T F 0 ( j 2 n π T ) F_{n}=\frac{\Omega}{2 \pi} F_{0}(j n \Omega)=\frac{1}{T} F_{0}\left(j \frac{2 n \pi}{T}\right)Fn =2πΩ F0 (jnΩ)=T1 F0 (jT2nπ )
因此，如果我们已知周期信号f T ( t ) f_{T}(t)fT (t)一个周期内的截断函数f 0 ( t ) f_0(t)f0 (t)的傅里叶变换，也可以快速求出f T ( t ) f_{T}(t)fT (t)的傅里叶级数。