【大学衔接】高中没咋讲，大学默认会的反三角函数，一个视频学懂！|高数上

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反三角函数是高中和大学数学课程中的重要知识点，它不仅是三角函数的逆运算，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。本文将从反三角函数的概念、图像特点到具体的解题方法，为你提供一个全面且深入的讲解。

反三角函数的概念及图像特点

00:43 ①反三角函数的概念及图像特点

1.反函数：函数的逆向问题
如从圆的已知半径求周长，推广到已知周长求半径，自变量与因变量互换，则成为反函数

反函数的数学定义：

注：并不是所有函数都有反函数
如y=x的平方，由于函数输出一自变量，只能有唯一的因变量，故在定义域上没有反函数
但可以限定函数的范围，当x≥0时，该函数具有反函数，其函数必须为单射，才存在反函数

2.反函数的图像与原函数的图像关系：两函数关于y=x直线对称
经典反函数：如对数函数与指数函数互为反函数

反正弦函数arcsinx

07:01 ②反三角函数arcsinx

arc符号的解释：自变量输入一正弦值∈[-1,1],输出其对应的角度，arc意为弧，
反三角函数具有单值性，故仅当原函数y=sinx的x∈[-π/2,π/2]上时，才具有反函数（此时反函数才能对应到唯一的因变量）能写为x=arcsiny

反正弦函数的相关性质：
（如图就是反正弦的函数的全部部分，是有界无周期函数）
求反三角函数→逆向思维求解

反正弦函数例题：

例1：x要在-1到1间才成立，D正确

例2：当y=sinx定义域取到其它范围时的解题步骤
1.先将x移到相应的主值区间，如该题改写为π-x，重写原三角函数
2.利用诱导公式，sin(π-x)=sinx=y，此时π-x在主值区间内，则π-x=arcsiny，反函数为y=π-arcsinx
若把原题范围改为[2π,5/2π]，其范围和主值范围黄色相差一个周期，即x=arcsiny+2π

关键点：运用主值区间求解

反余弦函数arccosx

26:42 ③反余弦函数arccosx

其他反三角函数只改变区间，逆向思维和主值区间的思考方式不变

arccos的小结论：
①：arccosx与arccos-x互补，两弧度之和为π
②：与反正弦函数相同
③：arcsinx与arccosx互余，两弧度之和为π/2
可用诱导公式和反解证明

互余的本质：直角三角形中，两锐角即为两函数值

例3：注意不可直接抵消，θ必须要在0到π之间，先将θ换为0到π之间再进行求解

反正切函数arctanx

37:15 ④反正切函数arctanx

注：端点值无法取到

arctanx同样有上下界π/2

例4：对于arctan(tanx)，由于无法确定a是否在主值区间中，故不可直接变为x

先转为主值区间，运用换元法，t=x-kπ（定义域内），y=arctan(tan(t+kπ))，再运用诱导公式，arctan(tant)=t=x-kπ，故该函数有周期，周期为π

反余切函数arccot

44:10 ⑤反余切函数arccot

arccot的小结论与arccos完全同理

小练习的解析可见评论区

总结

①反三角函数即为三角函数的反函数，每种函数都有对应的定义域，即主值区间
②关于反三角函数的习题与结论，都是围绕着主值区间和诱导公式进行求解的

反三角函数不仅是数学中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域也有着广泛的应用。例如，在电路分析中，反三角函数可以用来计算相位差；在信号处理中，反三角函数可以用来分析信号的频率特性。因此，掌握反三角函数的概念和解题方法，对于学习和研究这些领域都是非常有帮助的。