投篮中的篮球运动轨迹分析
投篮中的篮球运动轨迹分析
本文以投篮运动为例，建立了投篮过程中篮球的动力学模型，对篮球的运动轨迹进行了理论分析与实验验证。研究发现，真实投篮运动中的篮球会受到重力、空气浮力、空气阻力和马格努斯力作用，其中空气阻力的大小正比于篮球质心速度的平方，其方向与篮球的质心速度方向相反；马格努斯力的大小正比于篮球的质心速度，其方向为篮球角速度与质心速度的矢量积方向，前旋球的马格努斯力方向向下，后旋球的马格努斯力方向向上。
1. 篮球运动过程中的受力情况
取水平向右与竖直向上为正方向，篮球质量为m,质心平动速度为v ,v 与x 轴正方向的夹角为θ，球体绕质心的旋转角速度为ω 。如图1所示，假设篮球在x-y平面内被向右抛出且旋转方向沿逆时针方向，则篮球在空中会受到重力G 、空气浮力F ′、空气阻力f1和马格努斯力f2的作用[1]，接下来分别讨论空气阻力f1和马格努斯力f2的作用效果。
1.1 空气阻力
球体在流体中运动时会受到与运动方向相反的两种阻力——黏滞阻力和压差阻力，两种阻力的占比与雷诺系数Re 有关。Re 是一个无量纲的常数，由流体密度ρa，球体直径D、流体黏滞系数η、篮球质心相对于流体的平动速度v 决定，具体表达式为
当Re<1时，球体主要受黏滞阻力作用，此时空气阻力与速度成正比，具体表示为
，该方程主要适用于流体绕物体运动的相对速度非常迟缓、物体尺寸非常小或物体黏性非常大等情形[2]。对于7号国标篮球，代入D=24.60cm、ρa=1.293kg/m3、η=1.8×10－5N·s/m2（T=293.15K）可知：当v≥0.566m/s时，Re≥1×104。因此一般投篮运动中Re 较大，此时压差阻力的占比明显增大，空气阻力应正比于速度的平方，具体表示为[3]
其中，S为篮球的迎风面积(S=πr2)，Cd 为阻力系数，Cd 的大小与球体表面的粗糙程度、雷诺系数Re 及马赫数M 有关，M=v/v声。一般投篮运动中，M≤1且只会发生小范围波动，说明此时空气的压缩效应很小，影响阻力系数的主要因素是球体表面的粗糙程度和雷诺系数Re [4]。对于表面光滑的篮球，若Re <2.5×105，可取Cd =0.45[2]。
1.2 马格努斯力
如图2所示，逆时针旋转的篮球以速度v 相对于流体向右运动（相当于流体以速度v 相对于篮球向左运动）的过程中，由于附壁效应，流体在篮球上表面的分离点会发生后移，在下表面的分离点会发生前置，使得篮球上表面处的流体速度较下表面更快。上、下表面流体的流速差会产生压强差，并使篮球受到一方向向上的压力，这个压力就是马格努斯力f2。马格努斯力的方向垂直于ω 和v 所确定的平面，并满足矢量积的右手关系，具体表示为
其中，CL为升力系数，此处取
。在真实投篮过程中，相对于篮球质心的空气力矩会影响篮球的旋转角速度ω，进而改变k2与篮球的质心速度，为简便起见，暂不考虑空气阻力矩对ω 的影响，认为ω 是一定值。
2. 篮球运动轨迹方程
图1中的篮球为后旋球，其在上升过程中的动力学方程满足
代入
式（2）、式（3）可得
其中系数
同理可得下降过程中后旋球的动力学方程与式（5）一致。若篮球为前旋球，则其被投出后的动力学方程为
对于后旋球，当不考虑空气阻力时，篮球的动力学方程为
求解微分方程可得篮球的运动轨迹满足
当不考虑马格努斯力时，篮球的动力学方程为
当不考虑空气阻力和马格努斯力时，篮球的运动轨迹满足
在式（11）中，若不考虑空气浮力，即ρ′=0，则篮球的运动为理想抛体运动。
3. 对篮球运动轨迹进行数值分析
选择研究对象为表面光滑的国标7号篮球，篮球的半径r=12.30cm、质量m=600.0g、密度ρb=m/(4/3πr3)=76.98kg/m3，令篮球旋转角速度为ω、抛射角为θ0、质心初速度v0=5m/s。基于多角度对投篮过程进行数值分析与绘图，以体现不同因素对篮球运动轨迹的影响。
3.1 旋转方向对运动轨迹的影响
令θ0=53°、ω=5rad/s，利用 Matlab 对式（5）、式（7）进行数值求解,可得后旋球和前旋球的运动轨迹如图3所示。在抛射角、角速度和质心初速度的大小一定时，后旋球的射高、射程、运动轨迹的曲率和入篮角度都较前旋球更大，其入篮率也更高[6]，因此投篮过程中应尽量用指尖使球发生后旋，具体投篮手势如图4所示。接下来主要对后旋球的运动轨迹展开讨论。
3.2 旋转快慢对运动轨迹的影响
令θ0 =53°，改变ω 的大小可得篮球运动轨迹最高点与旋转快慢的关系如图5、图6所示。在质心初速度和抛射角一定时，篮球的射高随ω 的增大而增高，特别的，当ω 增大至70rad/s时篮球的运动轨迹会出现拐点，若继续增大ω，篮球的运动轨迹会变成螺旋线。
3.3 抛射角对运动轨迹的影响
令ω=5rad/s，在质心初速度和角速度的大小一定时，篮球运动轨迹与抛射角θ0 的关系如图7所示。随着抛射角的增大，篮球的射高会不断升高，但射程会先增大后减小。与理想抛体运动规律不同的是，此时使篮球射程最大的抛射角不是45°，而是43.0°。
3.4 空气阻力和马格努斯力对运动轨迹的影响
令θ0=53°、ω=5rad/s，对式（9）~（11）进行数值求解，可得不考虑空气阻力或马格努斯力时后旋球的运动轨迹如图8所示。对比可知，对于后旋球，马格努斯力f2的作用效果是增大篮球的射高与射程，空气阻力f1的作用效果是减小篮球的射高与射程。
4. 投篮实验
借助 Tracker 软件进行投篮实验，捕捉篮球的空间位置坐标并拟合篮球运动轨迹方程。注意事项：（1）选择表面光滑的国标篮球，测量篮球的半径与质量；（2）投篮时使球发生后旋；（3）拍摄过程中拍摄界面应平行于篮球的运动平面；（4）定标时应选择篮球运动平面内的物体作为参照物；（5）视频分析过程中应尽量缩短采样时间以增加采样点数量；（6）建立追踪质点时应选取篮球的球心为追踪点，并可将视频放大以进行人为追踪与微调。
本次实验中篮球的半径r =12.00cm，质量m =599.8g。对篮球完全离开指尖至到达篮筐整个过程进行逐帧分析，生成数据如图9所示，对篮球的位置坐标进行函数拟合，可知其在水平和竖直方向的速度vx、vy 对时间t 的关系为图9基于 Tracker 软件捕捉投篮运动轨迹
代入t=0,可得篮球的实验参数
将 Tracker 中的篮球空间位置坐标导入 Matlab 可得实验y-x图，对式（5）进行数值求解可得理论y-x 图。以0.01为步进，不断调整式（5）中ω、vx0 和 vy0 的大小，使两曲线逐渐逼近。如图10所示，当ω=5.90rad/s、vx0=4.03m/s、vy0=5.33m/s时，两曲线的拟合程度最佳（相关系数R2达到最大值0.9987，均方根系数达到最小值0.0152），当ω 偏离0.03rad/s或vx0、vy0偏离0.01m/s时，两曲线出现明显的偏差。因此篮球的理论参数为ω=5.90±0.03(rad/s)、vx0 =4.03±0.01(m/s)、vy0 =5.33±0.01(m/s)。对比可知，投篮过程中后旋球的理论运动轨迹方程（式（5））与实验数据基本吻合，本实验的误差来源可能为篮球相关参数的测量不精准、拍摄平面与篮球运动平面不完全平行或追踪选点不精确等原因。
5. 结语
本文以投篮运动为例，建立了投篮过程中篮球的动力学模型，对篮球的运动轨迹进行了理论分析与实验验证，可以得到以下主要结论：
（1） 真实投篮运动中的篮球会受到重力、空气浮力、空气阻力和马格努斯力作用，其中空气阻力的大小正比于篮球质心速度的平方，其方向与篮球的质心速度方向相反；马格努斯力的大小正比于篮球的质心速度，其方向为篮球角速度与质心速度的矢量积方向，前旋球的马格努斯力方向向下，后旋球的马格努斯力方向向上；
（2） 投篮运动中，后旋球的运动轨迹满足式（5）、前旋球的运动轨迹满足式（7），在篮球的抛射角、质心初速度和角速度大小一定时，后旋球的射高更高、射程更远；
（3） 对于后旋球，空气阻力的作用效果为减小篮球的射高与射程，马格努斯力的作用效果为增大篮球的射高与射程。篮球的射高随角速度的增大而增大，当角速度增至一定值时，篮球的运动轨迹会变成螺旋线。篮球的射高与抛射角呈正相关，而射程会随着抛射角的增大先增大后减小。与理想抛体运动不同的是，45°不再始终是射程最大时的抛射角。
本文原文来自《物理与工程》期刊