基于确定性递归最小二乘法的动态系统参数估计(RLS)附Matlab代码

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@小白创作中心

基于确定性递归最小二乘法的动态系统参数估计(RLS)附Matlab代码

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CSDN

https://blog.csdn.net/qq_59747472/article/details/140682538

动态系统参数辨识是控制理论和信号处理领域的重要问题，其目标是根据系统的输入输出数据，估计系统的未知参数。递归最小二乘法(Recursive Least Squares, RLS)是一种常用的参数辨识方法，其优点是能够在线实时估计参数，并且具有较快的收敛速度。本文将详细介绍基于确定性递归最小二乘法的动态系统参数估计方法，并提供相应的Matlab代码。

一、动态系统模型

假设一个线性时不变动态系统可以用以下状态空间模型描述：

$$
\begin{aligned}
& x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) \
& y(k) = Cx(k) + Du(k)
\end{aligned}
$$

其中，$x(k)$是系统状态向量，$u(k)$是系统输入向量，$y(k)$是系统输出向量，$A$、$B$、$C$和$D$分别是状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和直接传递矩阵。

二、确定性递归最小二乘法

确定性递归最小二乘法是一种基于最小二乘准则的在线参数估计方法。其基本思想是通过递推的方式更新参数估计值，以最小化预测误差的平方和。具体步骤如下：

初始化参数估计值$\hat{\theta}(0)$和协方差矩阵$P(0)$。
对于每个时间步$k$：

计算预测输出$\hat{y}(k) = \Phi(k) \hat{\theta}(k-1)$，其中$\Phi(k)$是观测矩阵。
计算预测误差$e(k) = y(k) - \hat{y}(k)$。
更新协方差矩阵$P(k) = \frac{1}{\lambda} \left( P(k-1) - \frac{P(k-1) \Phi(k)^T \Phi(k) P(k-1)}{\lambda + \Phi(k) P(k-1) \Phi(k)^T} \right)$。
更新参数估计值$\hat{\theta}(k) = \hat{\theta}(k-1) + P(k) \Phi(k)^T e(k)$。

其中，$\lambda$是遗忘因子，用于控制历史数据的权重。

三、Matlab代码示例

以下代码实现了一个基于确定性递归最小二乘法的动态系统参数估计程序：

% 数据处理
Phi = zeros(N-1, size(theta, 1));
for k = 1:N-1
    Phi(k, :) = [x(:, k)'*A; u(k)*B; C*x(:, k); u(k)];
end

% 递归最小二乘算法
for k = 1:N-1
    y_hat = Phi(k, :) * theta_hat;
    e = y(k) - y_hat;
    P = (1/lambda) * (P - (P * Phi(k,:)' * Phi(k,:) * P)/(lambda + Phi(k,:) * P * Phi(k,:)'));
    theta_hat = theta_hat + P * Phi(k,:)' * e;
end

% 结果显示
theta_hat = reshape(theta_hat, size(A));

% 绘图
figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(y, 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(Phi * theta_hat, 'r--', 'LineWidth', 2);
title('系统输出与预测输出');
legend('真实输出', '预测输出');
xlabel('时间步长');
ylabel('输出值');
grid on;

subplot(2, 1, 2);
plot(theta_hat - theta, 'LineWidth', 2);
title('参数估计误差');
xlabel('时间步长');
ylabel('误差');
grid on;